题目内容

如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数(a,b是常数)的图象与x轴交于点A(﹣3,0)和点B(1,0),与y轴交于点C.动直线y=t(t为常数)与抛物线交于不同的两点P、Q.

(1)求a和b的值;
(2)求t的取值范围;
(3)若∠PCQ=90°,求t的值.

(1)
(2)t>﹣4
(3)t=﹣2

解析分析:(1)将点A、点B的坐标代入二次函数解析式可求出a、b的值。
(2)根据二次函数及y=t,可得出方程,有两个交点,可得△>0,求解t的范围即可。
(3)证明△PDC∽△CDQ,利用相似三角形的对应边成比例,可求出t的值。
解:(1)将点A、点B的坐标代入可得:,解得:
(2)抛物线的解析式为,直线y=t,
联立两解析式可得:x2+2x﹣3=t,即x2+2x﹣(3+t)=0,
∵动直线y=t(t为常数)与抛物线交于不同的两点,
∴△=4+4(3+t)>0,解得:t>﹣4。
(3)∵y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4,
∴抛物线的对称轴为直线x=1。
当x=0时,y=﹣3,∴C(0,﹣3)。
设点Q的坐标为(m,t),则P(﹣2﹣m,t)。
如图,设PQ与y轴交于点D,

则CD=t+3,DQ=m,DP=m+2。
∵∠PCQ=∠PCD+∠QCD=90°,∠DPC+∠PCD=90°,∴∠QCD=∠DPC。
又∠PDC=∠QDC=90°,∴△QCD∽△CDP。∴,即
整理得:t2+6t+9=m2+2m。
∵Q(m,t)在抛物线上,∴t=m2+2m﹣3,即m2+2m=t+3。
∴t2+6t+9=t+3,化简得:t2+5t+6=0,解得t=﹣2或t=﹣3。
当t=﹣3时,动直线y=t经过点C,故不合题意,舍去。
∴t=﹣2。

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