题目内容
如图,在直角坐标系中有一直角三角形AOB,O为坐标原点,OA=1,tan∠BAO=3,将此三角形绕原点O逆时针旋转90°,得到△DOC,抛物线经过点A、B、C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点,其坐标为t,
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E,连接PE,交CD于F,求出当△CEF与△COD相似时,点P的坐标;
②是否存在一点P,使△PCD得面积最大?若存在,求出△PCD的面积的最大值;若不存在,请说明理由.
(1)
(2)①P点的坐标为:(﹣1,4)或(﹣2,3)。
②当t=﹣时,S△PCD的最大值为。
解析分析:(1)先求出A、B、C的坐标,再运用待定系数法就可以直接求出二次函数的解析式。
(2)①由(1)的解析式可以求出抛物线的对称轴,分类讨论当∠CEF=90°时,当∠CFE=90°时,根据相似三角形的性质就可以求出P点的坐标。
②先运用待定系数法求出直线CD的解析式,设PM与CD的交点为N,根据CD的解析式表示出点N的坐标,再根据S△PCD=S△PCN+S△PDN就可以表示出三角形PCD的面积,运用顶点式就可以求出结论。
解:(1)在Rt△AOB中,OA=1,,∴OB=3OA=3.。
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的,
∴△DOC≌△AOB。∴OC=OB=3,OD=OA=1。
∴A、B、C的坐标分别为(1,0),(0,3)(﹣3,0).
代入解析式得,解得:。
∴抛物线的解析式为。
(2)①∵,∴对称轴l为x=﹣1。
∴E点的坐标为(﹣1,0)。
当∠CEF=90°时,△CEF∽△COD.此时点P在对称轴上,即点P为抛物线的顶点,P(﹣1,4)。
当∠CFE=90°时,△CFE∽△COD,过点P作PM⊥x轴于点M,则△EFC∽△EMP。
∴。∴MP=3EM.。
∵P的横坐标为t,∴P(t,)。
∵P在二象限,∴PM=,EM=,
∴,解得:t1=﹣2,t2=﹣3(与C重合,舍去)。
∴t=﹣2时,。
∴P(﹣2,3)。
综上所述,当△CEF与△COD相似时,P点的坐标为:(﹣1,4)或(﹣2,3)。
②设直线CD的解析式为y=kx+b,由题意,得
,解得:。
∴直线CD的解析式为:y=x+1。
设PM与CD的交点为N,则点N的坐标为(t,t+1),∴NM=t+1。
∴。
∵S△PCD=S△PCN+S△PDN,
∴。
∴当t=﹣时,S△PCD的最大值为。
矩形的面积一定,则它的长和宽的关系是( )
A.正比例函数 | B.一次函数 | C.反比例函数 | D.二次函数 |
点(-1,y1),(2,y2),(3,y3)均在函数y=的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y3<y2<y1 | B.y2<y3<y1 |
C.y1<y2<y3 | D.y1<y3<y2 |