Question

【题目】如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B坐标为(4，0)，点C坐标为(0，4)，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．

（1）求抛物线的表达式及对称轴；

（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA＝2∠BDE时，求点F的坐标；

（3）若点P是x轴上方抛物线上的动点，以PB为边作正方形PBGH，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随着改变，当顶点G或H恰好落在y轴上时，请直接写出点P的横坐标．

Answer 1

【答案】（1），x=1；（2）(，)或(，-)；（3）点P的横坐标为或0或2或2-

【解析】

（1）将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

（2）在线段DE上取点M，使MD=MB，此时∠EMB=2∠BDE，则∠FBA=∠EMB，即可求解；

（3）分点P在对称轴右侧、点P在对称轴左侧两种情况，利用三角形全等求解即可．

（1）根据题意得

∴

∴D的坐标（1，）即对称轴为x=1

（2）如图，在线段DE上选取点M，使得MD=MB．此时∠EMB＝2∠BDE

设ME=a，在Rt△BME中，ME2BE2BM2.

即，解得a＝

∴tan∠EMB=

过F作FN⊥x轴于点N，设F（m，－m2+m+4），则FN＝|－m2+m+4|

∵∠FBA＝2∠BDE，

∴∠FBA＝∠EMB，

∴tan∠FBA=tan∠EMB=

∵B（4，0），E（1，0），

∴BE＝3，BN＝4/span>﹣m，即tan∠FBA=

当点F在x轴上方时，有12(4﹣m)＝5（－m2+m+4），解得m1＝4(舍)，m2＝

∴F的坐标（，）

当点F在x轴下方时，有-12(4﹣m)＝5（－m2+m+4），解得m1＝4(舍)，m2＝∴F的坐标（，-）

∴F的坐标（，）或（，-）

（3））①当点P在对称轴右侧时，

（Ⅰ）当点H在y轴上时，如图2，

∵∠MPB+∠CPH=90°，∠CPH+∠CHP=90°，

∴∠CHP=∠MPB，

∵∠BMP=∠PNH=90°，PH=BP，

∴△BMP≌△PNH（AAS），

∴MB=PC，

设点P（x，y），则x=y=-x2+x+4，

解得：x=±2（舍去负值），

故点P的横坐标为2；

（Ⅱ）当点G在y轴上时，如图3，

过点P作PR⊥x轴于点R，

同理可得：△PRB≌△BOG（AAS），

∴PR=OB=4，

即yP=4=-x2+x+4，

解得：x=2；

②当点P在对称轴左侧时，

同理可得：点P的横坐标为0或2-2；

综上，点P的横坐标为或0或2或2-