题目内容
【题目】（1）问题背景：如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AB＝AC，P为
上一动点(不与B，C重合)，求证：
PA＝PB+PC．请你根据图中所给的轴助线，给出作法并完成证明过程．
（2）类比迁移：如图②，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB＝AC，AB⊥AC，垂足为A，求OC的最小值
（3）拓展延伸：如图③，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB＝
AC，AB⊥AC，垂足为A，则OC的最小值为____________．
【答案】（1）见解析；（2）
；（3）
【解析】
（1）将△ACP绕点A顺时针旋转90°到△ABQ的位置，由旋转的性质可得：∠QBA＝∠PCA，AP＝AQ，PC＝QB，根据圆的内接四边形的性质可证点Q，点B，点P共线，根据勾股定理可证
AP＝PQ＝PC＋PB；
（2）连接OA，将△OAC绕点A顺时针旋转90°至△EAB，连接OB，OE，则可得EB＝OC，AE＝OA＝3，∠EAB＝∠OAC，根据勾股定理可求OE＝3，根据三角形三边关系可得BE≥OEOB＝33（当点B在OE上时，取等号），即可求OC的最小值；
（3）如图③构造相似三角形即可解决问题，作AQ⊥OA，使得AQ＝
OA，连接OQ，BQ，OB．由△QAB∽OAC，推出BQ＝OC，当BQ最小时，OC最小．
解：（1）将△ACP绕点A顺时针旋转90°到△ABQ的位置，
∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°＝∠BPC，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
由旋转可得∠QBA＝∠PCA，PA＝AQ，PC＝QB，
∵∠PCA＋∠PBA＝180°，
∴∠QBA＋∠PBA＝180°，
∴Q，B，P三点共线，
∴∠QAB＋∠BAP＝∠BAP＋∠PAC＝90°
∴QP2＝AP2＋AQ2＝2AP2，
∴QP＝AP＝QB＋BP＝PC＋PB，
∴AP＝PC＋PB；
（2）如图②：连接OA，将△OAC绕点A顺时针旋转90°至△EAB，连接OB，OE，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
由旋转可得：EB＝OC，AE＝OA＝3，∠EAB＝∠OAC，
∴∠EAB＋∠BAO＝∠BAO＋∠OAC＝90°，
∴在Rt△OAE中，OE＝
＝3，
∵BE≥OEOB＝33（当点B在OE上时，取等号），
∴OC最小值是33；
（3）如图③中，作AQ⊥OA，使得AQ＝OA，连接OQ，BQ，OB，
∵∠QAO＝∠BAC＝90°，∠QAB＝∠OAC，
∵
，
∴△QAB∽△OAC，
∴BQ＝OC，
当BQ最小时，OC最小，
易知OA＝3，AQ＝4，OQ＝5，BQ≥OQOB，
∴BQ≥2，
∴BQ的最小值为2，
∴OC的最小值为，
故答案为：．
