Question

【题目】如图，为的直径，点是右侧半圆上的一个动点，点是左侧半圆的中点，是的切线，切点为，连接交于点．点为射线上一动点，连接，，．

（1）当时， 求证：．

（2）若的半径为，请填空：

①当四边形为正方形时，

②当 时， 四边形为菱形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①2；②22.5°

【解析】

（1）由切线性质和垂径定理可证明，从而可得四边形是平行四边形，利用平行四边形性质即可证明结论；

（2）①根据正方形性质得到P点与O点重合即可得到答案；

②由点为的中点，可得，由菱形性质易求，进而可求．

解（1）证明：连接，

点为的中点，为的半径，

，

是的切线，

，

，

又，

四边形是平行四边形，

，，

又，

，

（2）①当四边形为正方形时， BP=DQ，DP⊥AB，即P点与O点重合，

∴DQ=BP=BO，

又∵，

∴，

故答案为：2；

②如图，连接BD，

∵点是左侧半圆的中点，

∴，，

在菱形中，，，

∴，

∴，

∵，

∴，

故答案为：．