题目内容
【题目】综合与实践:折纸中的数学
动手操作:
如图,将矩形ABCD折叠,点B落在AD边上的点B′处,折痕为GH,再将矩形ABCD折叠,点D落在B′H的延长线上,对应点为D′,折痕为B′E,延长GH于点F,O为GE的中点.
数学思考:
(1)猜想:线段OB′与OD′的数量关系是(不要求说理或证明).
(2)求证:四边形GFEB′为平行四边形;
(3)拓展探究:
如图2,将矩形ABCD折叠,点B对应点B′,点D对应点为D′,折痕分别为GH、EF,∠BHG=∠DEF,延长FD′交B′H于点P,O为GF的中点,试猜想B′O与OP的数量关系,并说明理由.
【答案】
(1)OB′=OD′
(2)
解:如图1,
由折叠得:∠GHB=∠GHB′= ∠B′HB,
∠DB′E=∠D′B′E= ∠D′B′D,
∵四边形ABCD为矩形,
∴AD∥BC,
∴∠B′HB=′DB′D′,
∴∠GHB′=∠EB′H,
∴GF∥B′E,
∵∠GB′H=∠B=90°,∠B′D′E=∠D=90°,
∴∠GB′H=∠B′D′E,
∴GB′∥EF,
∴四边形GB′EF为平行四边形;
(3)
解:如图2,
OB′=OP,理由是:
延长HB′交AD于M,延长B′O交D′P于点N,
∠B′HB=2∠GHB,∠DED′=2∠DEF,∠GHB=∠DEF,
∴∠B′HB=∠DED′,
∵AD∥BC,∠DMH=∠B′HB,
∴∠DED′=∠DMH,
∴ED′∥MH,
∴∠B′PN=∠ED′F=90°,
∴∠GB′P=∠B′PN,
∴GB′∥PD′,
∴∠B′GO=∠NFO,
∵∠GOB′=∠FON,GO=OF,
∴△GB′O≌△FNO,
∴B′O=NO,
∴B′O=OP.
【解析】解:(1)如图1,OB′=OD′,理由是:
连接OF,
由折叠得:∠GB′H=∠B=90°,∠B′D′E=∠D=90°,
∴∠GB′H=∠B′D′E,
∴GB′∥EF,
同理得B′E∥GF,
∴四边形GFEB′是平行四边形,
∴OB′=OF,
则B′、O、F共线,
在Rt△B′D′F中,OD′= B′F=OB′,
即OB′=OD′;
【考点精析】利用平行四边形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点,并且这两条直线二等分此平行四边形的面积.
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