Question

【题目】已知抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n），其中m、n是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根，且m＜n．

（1）求抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C、D点的坐标和△BCD的面积；
（3）P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，求P点的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：解方程x2﹣6x+5=0，

得x1=5，x2=1，

由m＜n，知m=1，n=5，

∴A（1，0），B（0，5），

∴ ,即 ；

所求抛物线的解析式为y=﹣x2﹣4x+5．

（2）

解：

由﹣x2﹣4x+5=0，

得x1=﹣5，x2=1，

故C的坐标为（﹣5，0），

由顶点坐标公式，得D（﹣2，9）；

过D作DE⊥x轴于E，得E（﹣2，0），

∴S△BCD=S△CDE+S梯形OBDE﹣S△OBC= =15．

（注：延长DB交x轴于F，由S△BCD=S△CFD﹣S△CFB也可求得）

（3）

解：设P（a，0），则H（a，﹣a2﹣4a+5）；

直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，须且只须BC等分线段PH，亦即PH的中点，

（ ）在直线BC上，

易得直线BC方程为：y=x+5；

∴ ．

解之得a1=﹣1，a2=﹣5（舍去），

故所求P点坐标为（﹣1，0）．

【解析】（1）通过解方程可求出m、n的值，也就求出了点A、B的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式．（2）抛物线的解析式中，令y=0可求得C点坐标，利用公式法可求出抛物线顶点D的坐标；由于△BCD的面积无法直接求得，可过D作x轴的垂线，设垂足为E，分别求出△CDE、梯形DEOB、△BCO的面积，那么△CDE、梯形DEOB的面积和减去△BCO的面积，即可得到△BCD的面积．（3）若直线BC平分△PCH的面积，那么直线BC必过PH的中点，因为只有这样平分所得的两个三角形才等底等高，可设出点P的坐标，根据抛物线的解析式可表示出点H的坐标，进而可求得PH中点的坐标，由于PH中点在直线BC上，可将其代入直线BC的解析式中，由此求出点P的坐标．