Question

【题目】如图1，点D位于△ABC边AC上，已知AB是AD与AC的比例中项．
（1）求证：∠ACB=∠ABD；
（2）现有点E、F分别在边AB、BC上如图2，满足∠EDF=∠A+∠C，当AB=4，BC=5，CA=6时，求证：DE=DF．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB是AD与AC的比例中项．

∴ ，

又∵∠A=∠A，

∴△ABD∽△ACB，

∴∠ACB=∠ABD

（2）证明：∵△ABD∽△ACB，

∴ ，即 ，

解得：AD= ，BD= ，

∴CD=AC﹣AD=6﹣ = ，

∴BD=CD，

∴∠DBC=∠ACB，

∵∠ACB=∠ABD，

∴∠ABD=∠BDC，

∵∠EDF=∠A+∠C，∠A+∠C=180°﹣∠ABC，

∴∠EDF+∠ABC=180°，

∴点B、E、D、F四点共圆，

∴ ，

∴DE=DF

【解析】（1）证出△ABD∽△ACB，得出对应角相等即可；（2）由相似三角形的性质得出对应边成比例求出AD= ，BD= ，得出BD=CD，由等腰三角形的性质得出∠DBC=∠ACB，证出∠ABD=∠BDC，再证明点B、E、D、F四点共圆，由圆周角定理得出 ，即可得出结论．
【考点精析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．