题目内容
【题目】已知椭圆C： 
+ 
=1（a＞0，b＞0）的离心率为 
，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为 
（O为坐标原点）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C上的一点，过P的直线与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限内的一点M，证明：|PF|+|PM|为定值．
【答案】
（1）
解：由题意可知：椭圆的离心率e= 
= 
，则a= 
c，
由△AOF的面积为S= 
×b×c= ，则bc=1，
由a2=b2﹣c2，解得：a= ，b=c=1，
∴椭圆的标准方程为： 
；
（2）
证明：由（1）可知：F（1，0），以椭圆的短轴为直径的圆的方程为x2+y2=1，
设P（ cosθ，sinθ），且cosθ＞0，则|PF|= 
= 
= ﹣cosθ，
由M是圆x2+y2=1的切点，则OM⊥PM，且丨OM丨=1，
则丨PM丨= 
= 
= 
=cosθ，
∴|PF|+|PM|= ﹣cosθ+cosθ= ，
∴|PF|+|PM|为定值．
【解析】（1）根据椭圆的离心率求得a= c，bc=1，及a2=b2﹣c2 ， 即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）利用椭圆的参数方程，设P点坐标，利用两点之间的距离公式，及勾股定理即可求得：|PF|+|PM|的值为定值．
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