Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC边上，且BD=BC，过点B作CD的垂线交AC于点O，以O为圆心，OC为半径画圆．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AB=10，AD=2，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD

∵BD=BC，BO⊥CD，

∴∠DBO=∠CBO．

∵BD=BC，∠DBO=∠CBO，OB=OB

∴△DBO≌△CBO，

∴OD=OC，∠ODB=∠OCB=90°，

∴AB是⊙O的切线．

（2）解：∵AB=10，AD=2，∴BC=BD=AB﹣AD=8，

在Rt△ABC中，AC= = =6，

设⊙O的半径为r，则OD=OC=r，AO=AC﹣OC=6﹣r，

在Rt△ADO中，∵AD2+OD2=AO2

∴22+r 2=（6﹣r）2．

解之得r= ，即⊙O的半径为 ．

【解析】（1）连接OD，证明△DBO≌△CBO，即可证得∠ODB=90°，从而证得AB是切线；（2）Rt△ABC中利用勾股定理求得AC的长，然后在直角△ADO中根据勾股定理列方程求得半径的长．