Question

【题目】（1）方法选择：如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，AB＝BC＝AC．求证：BD＝AD+CD．

小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM＝AD，连接AM…

小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN＝AD…

请你选择一种方法证明．

（2）类比探究：（探究1）如图②，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，BC是⊙O的直径，AB＝AC．试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，井证明你的结论．

（探究2）如图③，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是　 　．

（3）拓展猜想：如图④，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，BC：AC：AB＝a：b：c，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是　 　．

Answer 1

【答案】（1）选截长法，见解析；（2）探究1 ：BD＝CD+AD，见解析；探究2： BD＝CD+2AD；（3）BD＝CD+AD．

【解析】

（1）方法选择：根据等边三角形的性质得到∠ACB=∠ABC=60°，如图①，在BD上截取DM=AD，连接AM，由圆周角定理得到∠ADB=∠ACB=60°，得到AM=AD，根据全等三角形的性质得到BM=CD，于是得到结论；

（2）类比探究：探究1：如图②，由BC是⊙O的直径，得到∠BAC=90°，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°，过A作AM⊥AD交BD于M，推出△ADM是等腰直角三角形，求得DM=AD根据全等三角形的性质得到结论；

探究2：如图③，根据圆周角定理和三角形的内角和得到∠BAC=90°，∠ACB=60°，过A作AM⊥AD交BD于M，求得∠AMD=30°，根据直角三角形的性质得到MD=2AD，根据相似三角形的性质得到BM=CD，于是得到结论；

（3）如图④，由BC是⊙O的直径，得到∠BAC=90°，过A作AM⊥AD交BD于M，求得∠MAD=90°，根据相似三角形的性质得到BM=CD，DM=AD，于是得到结论．

（1）方法选择：∵AB＝BC＝AC，

∴∠ACB＝∠ABC＝60°，

如图①，在BD上截取DM=AD，连接AM，

∵∠ADB＝∠ACB＝60°，

∴△ADM是等边三角形，

∴AM＝AD，

∵∠ABM＝∠ACD，

∵∠AMB＝∠ADC＝120°，

∴△ABM≌△ACD（AAS），

∴BM＝CD，

∴BD＝BM+DM＝CD+AD；

（2）类比探究：探究1：如图②，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BAC＝90°，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，

过A作AM⊥AD交BD于M，

∵∠ADB＝∠ACB＝45°，

∴△ADM是等腰直角三角形，

∴AM＝AD，∠AMD＝45°，

∴DM＝AD，

∴∠AMB＝∠ADC＝135°，

∵∠ABM＝∠ACD，

∴△ABM≌△ACD（AAS），

∴BM＝CD，

∴BD＝BM+DM＝CD+AD；

探究2：如图③，

∵若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，

∴∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，

过A作AM⊥AD交BD于M，

∵∠ADB＝∠ACB＝60°，

∴∠AMD＝30°，

∴MD＝2AD，

∵∠ABD＝∠ACD，∠AMB＝∠ADC＝150°，

∴△ABM∽△ACD，

∴，

∴BM＝CD，

∴BD＝BM+DM＝CD+2AD；

故答案为：BD＝CD+2AD；

（3）拓展猜想：BD＝BM+DM＝CD+AD；

理由：如图④，

∵若BC是⊙O的直径，

∴∠BAC＝90°，

过A作AM⊥AD交BD于M，

∴∠MAD＝90°，

∴∠BAM＝∠DAC，

∴△ABM∽△ACD，

∴，

∴BM＝CD，

∵∠ADB＝∠ACB，∠BAC＝∠NAD＝90°，

∴△ADM∽△ACB，

∴，

∴DM＝AD，

∴BD＝BM+DM＝CD+AD．

故答案为：BD＝BM+DM＝CD+AD．