Question

【题目】新定义：对于关于的函数我们称函数为函数的分函数(其中为常数)．

例如：对于关于的一次函数的分函数为

（1）若点在关于的一次函数的分函数上，求的值．

（2）写出反比例函数的分函数的图象上随的增大而减小的的取值范围 ；

（3）若是二次函数关于的分函数．

当时，求的取值范围．

当时，则的取值范围为 ；

（4）若点连结当关于的二次函数的分函数，与线段有两个交点，直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）或（3）①或②（4）m＜1或≤m＜或m≥4

【解析】

（1）根据题意写出一次函数y＝x＋1的2分函数为y'，把x=4代入即可求解；

（2）根据题意写出反比例函数的分函数y'，根据反比例函数的图像即可判断；

（3）①根据题意写出二次函数关于的分函数y'，根据分段即可求解；

②首先求出当时，的取值范围为，当时，可知，求出时的值在-3和-4（包含-3和-4）之间对应的x的取值范围即可；

（4）先写出二次函数关于的m分函数y'，当x23x3＝1时，x＝1或x＝4，当x2＋span>3x＋3＝1时，x＝或x＝，当y＝x23x3与线段AB没有交点，m＜1；当y＝x23x3与线段AB有一个交点，y＝x2＋3x＋3与线段AB有一个交点，＜m＜；当y＝x23x3与线段AB有两个交点，m≥4．

（1）一次函数y＝x＋1的2分函数为

把代入得

；

（2）反比例函数的4分函数为，

∴y随x的增大而减小时，或；

故答案为：或；

（3）二次函数y＝x22x3关于x的1分函数为

①当1≤x≤2时，

1≤x≤1，y'=，y的取值范围为4≤y'≤0，

1＜x≤2，y'=，y的取值范围为3≤y'＜4，

∴当1≤x≤2时，y'的取值范围为4≤y'≤0，3≤y'＜4；

②img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2020/11/27/15/1b1ac277/SYS202011271558349761366940_DA/SYS202011271558349761366940_DA.033.png" width="15" height="13" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />把代入可得

把代入可得

当时，的取值范围为

由①知，当时，

把代入，解得：，（舍去）

把代入，解得，（舍去）

k的取值范围为：

（4）二次函数y＝x23x3的m分函数为

当x23x3＝1时，x＝1或x＝4，

当x2＋3x＋3＝1时，x=或x＝，

当y＝x23x3与线段AB没有交点，m＜1；

当y＝x23x3与线段AB有一个交点，y＝x2＋3x＋3与线段AB有一个交点，

∴≤m＜；

当y＝x23x3与线段AB有两个交点，m≥4；

综上所述：m＜1或≤m＜或m≥4．