Question

已知：如图，直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过点C作CD⊥PA，垂足为点D．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若tan∠ACD=

1

2

，⊙O的直径为10，求AB的长．

Answer 1

（1）证明：连结OC，
∵点C在⊙O上，OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵CD⊥PA，
∴∠CDA=90°，有∠CAD+∠DCA=90°，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠CAO，
∴∠DAC=∠OCA，
∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠DAC=90°．
∵点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，
∴CD为⊙O的切线．

（2）过点O作OG⊥AB于G，
∵∠OCD=90°，CD⊥PA，
∴四边形OCDG是矩形，
∴OG=CD，GD=OC，
∵⊙O的直径为10，
∴OA=OC=5，
∴DG=5，
∵tan∠ACD=

AD

CD

=

1

2

，设AD=x，CD=2x，则OG=2x，
∴AG=DG-AD=5-x，
在Rt△AGO中，由勾股定理知AG²+OG²=OA²，
∴（5-x）²+（2x）²=25，
解得x₁=2，x₂=0（舍去），
∴由垂径定理得：AB=2AG=2×（5-2）=6．