题目内容
如图,已知直线y=ax+b(a≠0)与双曲线y=
(k≠0)交于A、B两点,且点A(2,1),点B的纵坐标为2.
(1)求双曲线的解析式;
(2)求直线的解析式;
(3)求线段AB的长;
(4)问在双曲线上是否存在点C,使△ABC的面积等于3?若存在,求出点C的坐标;若不存在,说明理由(结果不需要分母有理化)
k |
x |
(1)求双曲线的解析式;
(2)求直线的解析式;
(3)求线段AB的长;
(4)问在双曲线上是否存在点C,使△ABC的面积等于3?若存在,求出点C的坐标;若不存在,说明理由(结果不需要分母有理化)
(1)根据题意知,点A(2,1)在双曲线y=
(k≠0)上,则k=xy=2×1=2,
所以双曲线的解析式为y=
;
(2)根据题意知,点B在双曲线y=
上,且点B的纵坐标是2.故设B(x,2).则
2=
,
解得,x=1,
故点B的坐标是(1,2).
∵点A、B都在直线y=ax+b(a≠0)上,
∴
,
解得,
,
∴直线的解析式为:y=-x+3;
(3)∵A(2,1),B(1,2),
∴AB=
=
,即线段AB的长度是
;
(4)存在,理由如下:
如图,过点C作CD∥x轴,交直线AB于点D;过点C作CH⊥AB于点H.
∵AB=
,S△ABC=3,
∴
AB•CH=3,即
×
=3,
∴CH=3
.
设C(x,
),则D(3-
,
).
∴|CD|=|3-
-x|.
在Rt△CDH中,∠CDB=45°,CH=3
,则CD=6,
得方程|3-
-x|=6.
①当3-
-x=6时,解得,x1=-1,x2=-2,
∴点C的坐标是(-1,-2),(-2,-1);
②当3-
-x=-6时,解得x1=
,x2=
,
∴点C的坐标是(
,
),(
,
);
综上所述,符号条件的点C有4个,即(-1,-2),(-2,-1),(
,
),(
,
).
k |
x |
所以双曲线的解析式为y=
2 |
x |
(2)根据题意知,点B在双曲线y=
2 |
x |
2=
2 |
x |
解得,x=1,
故点B的坐标是(1,2).
∵点A、B都在直线y=ax+b(a≠0)上,
∴
|
解得,
|
∴直线的解析式为:y=-x+3;
(3)∵A(2,1),B(1,2),
∴AB=
(1-2)2+(2-1)2 |
2 |
2 |
(4)存在,理由如下:
如图,过点C作CD∥x轴,交直线AB于点D;过点C作CH⊥AB于点H.
∵AB=
2 |
∴
1 |
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1 |
2 |
2 |
∴CH=3
2 |
设C(x,
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x |
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∴|CD|=|3-
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在Rt△CDH中,∠CDB=45°,CH=3
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得方程|3-
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①当3-
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∴点C的坐标是(-1,-2),(-2,-1);
②当3-
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∴点C的坐标是(
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综上所述,符号条件的点C有4个,即(-1,-2),(-2,-1),(
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