Question

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B，且18a+c=0．

（1）求抛物线的解析式．
（2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动．
①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．
②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)抛物线的解析式为y=x²﹣4x﹣12；
(2)①S=﹣(t﹣3)²+9，（0＜t＜6），
②当t=3时，S取最大值为9,点R坐标为（3，﹣18），理由见解析．

试题分析：（1）把点A代入解析式求出c和a，最后根据抛物线的对称轴求出b，即可求出最后结果．
（2）①本题需根据题意列出S与t的关系式，再整理即可求出结果．
②本题需分三种情况：当点R在BQ的左边，且在PB下方时；当点R在BQ的左边，且在PB上方时；当点R在BQ的右边，且在PB上方时，然后分别代入抛物线的解析式中，即可求出结果．
试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
由题意知点A（0，﹣12），
所以c=﹣12，
又18a+c=0，
，
∵AB∥OC，且AB=6，
∴抛物线的对称轴是x=，
∴b=﹣4，
所以抛物线的解析式为y=x²﹣4x﹣12；
（2）①S=·2t(6﹣t)=﹣t²+6t=﹣(t﹣3)²+9，（0＜t＜6），
②当t=3时，S取最大值为9．
这时点P的坐标（3，﹣12），
点Q坐标（6，﹣6），
若以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，有如下三种情况：
（Ⅰ）当点R在BQ的左边，且在PB下方时，点R的坐标（3，﹣18），将（3，﹣18）代入抛物线的解析式中，满足解析式，所以存在，点R的坐标就是（3，﹣18），
（Ⅱ）当点R在BQ的左边，且在PB上方时，点R的坐标（3，﹣6），将（3，﹣6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件．
（Ⅲ）当点R在BQ的右边，且在PB上方时，点R的坐标（9，﹣6），将（9，﹣6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件．
综上所述，点R坐标为（3，﹣18）．