Question

为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担，李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数：y=－10x＋500．
⑴李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
⑵设李明获得的利润为W(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
⑶物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元，如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？

Answer 1

（1）600；（2）30；（3）500.

试题分析：（1）根据销售额=销售量×销售单价，列出函数关系式；
（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值；
（3）把y=3000代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求x的值．
试题解析：⑴当x=20时，y=－10x＋500=－10×20+500=300，
300×(12－10)=300×2=600，
即政府这个月为他承担的总差价为600元．
⑵依题意得，W=(x－10)(－10x+500)=－10x²+600x－5000=－10(x－30)²+4000
∵a=－10＜0，∴当x=30时，W有最大值4000．
即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元．
⑶由题意得：－10x²＋600x－5000=3000，解得：x₁=20，x₂=40．
∵a=－10＜0，抛物线开口向下，
∴结合图象可知：当20≤x≤40时，W≥3000．

又∵x≤25，
∴当20≤x≤25时，W≥3000．
设政府每个月为他承担的总差价为p元，
∴p=(12－10)×(－10x+500)
=－20x＋1000．
∵k=－20＜0．
∴p随x的增大而减小，∴当x=25时，p有最小值500．
即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．
考点: 二次函数的应用．