Question

如图，直线y=与x轴交于点A，与y轴交于点C，以AC为直径作⊙M，点是劣弧AO上一动点（点与不重合）．抛物线y=－经过点A、C，与x轴交于另一点B，

（1）求抛物线的解析式及点B的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，是︱PA—PC︱的值最大；若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）连交于点，延长至，使，试探究当点运动到何处时，直线与⊙M相切，并请说明理由．

Answer 1

（1）  B(1，0)
（2）P(-1,)
（3）当D运动到劣弧AO的中点时，直线AG与⊙M相切．证明见解析

试题分析：（1）先求出A、C点坐标，再代入y=－即可求出b、c的值，从而确定抛物线的解析式，由于点A、B关于抛物线的对称轴对称，从而可求出点B的坐标.
（2）连接BC并延长交抛物线对称轴于一点，这一点就是点P.
（3）当D运动到劣弧AO的中点时，直线AG与⊙M相切．
试题解析：（1）解：由 得A（-3，0），C（0， ）
将其代入抛物线解析式得： 解得：
∴
∵对称轴是x=-1
∴由对称性得B(1，0)
（2）解：延长BC与对称轴的交点就是点P
由B(1，0)，C（0，）求得直线BC解析式为： 
当x=-1时，y= 
∴P(-1, )
（3）结论：当D运动到劣弧AO的中点时，直线AG与⊙M相切．
证明：∵在RT△AOC中，tan∠CAO=，
∴∠CAO=30°，∠ACO=60°，
∵点D是劣弧AO的中点，
∴弧AD=弧OD
∴∠ACD=∠DCO=30°，
∴OF=OCtan30°=1，∠CF O=60°，
∴△AFG中，AF=3-1=2，∠AFG=∠CFO=60°，
∵FG=2，
∴△AFG为等边三角形，
∴∠GAF=60°，
∴∠CAG=30°+60°=90°，
∴AC⊥AG，
∴AG为⊙M的切线．
考点: 1. 二次函数综合题；2.直线与圆的位置关系.