Question

【题目】如图，是的直径，过点作的切线，弦，交于点，且弧弧，连接，延长交于点．

（1）求证：是等边三角形；

（2）若，求的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2 ．

【解析】

（1）由AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，得到AB⊥BE，由于CD∥BE，得到CD⊥AB，根据垂径定理得到弧弧，于是得到弧弧=弧AC ，问题即可得证；
（2）连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，得到∠DAC=60°又直角三角形的性质得到BE=AE，ON=AO，设⊙O的半径为：r则ON=r，AN=DN=r，由于得到EN=2+r，BE=AE= ，在Rt△DEF与Rt△BEO中，由勾股定理列方程即可得到结论．

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，
∴AB⊥BE，
∵CD∥BE，
∴CD⊥AB，
∴弧AD=弧AC，
∵弧弧，
∴弧弧=弧AC，
∴AD=AC=CD，
∴△ACD是等边三角形；
（2）解：连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°
∵AD=AC，CD⊥AB，
∴∠DAB=30°，
∴BE=AE，ON=AO，
设⊙O的半径为：r，

∴ON=r，AN=DN=r，
∴EN=2+r，BE=AE= ，
在Rt△NEO与Rt△BEO中，
OE2=ON2+NE2=OB2+BE2，
即（）2+（2+ ）2=r2+()2，
∴r=2，
∴OE2=()2+25=28，
∴OE=2 ．