题目内容
【题目】（1）如图1，已知：在
和
中，
，
，
分别在
上，连接
，点
为线段
的中点，连接
，则线段
与之间的数量关系是 ，位置关系是
（2）如图2所示，已知：正方形
将
斜边
的中点与点
重合，直角顶点
落在正方形的
边上，的两直角边分别交
边于
两点(点
与点重合)，求证：
；
（3）如图3，若将绕着点逆时针旋转
，两直角边分别交边于两点，如图3所示：判断四条线段
之间是否存在什么确定的相等关系？若存在，证明你的结论．若不存在，请说明理由．
【答案】（1）AD=2OM， AD⊥OM；理由见解析；（2）见解析；（3）PF2+FQ2=EP2+GQ2．理由见解析；
【解析】
（1）证出△AOD≌△BOC（SAS），得出AD=BC，∠OAD=∠OBC，由直角三角形的性质得出OM=
BC=BM=AD，由等腰三角形的性质得出∠OBC=∠MOB，证出∠OND=90°，即可得出AD⊥OM；
（2）过E作EH∥FG交DA延长线于H，则∠AEH=∠G，证出△EAH≌△GAQ（ASA），得出EH=QG，AH=AQ，证出∠HEF=∠HEP=90°，由线段垂直平分线的性质得出PQ=PH．在Rt△EPH中，由勾股定理得出EP2+EH2=PH2，即可得出结论；
（3）过E作EH∥FG交DA延长线于点H，连PH、PQ，证△EAH≌△GAQ，得出EH=QG；再证PQ=PH．在Rt△EPH中，EP2+EH2=PH2，得出EP2+GQ2=PH2．在Rt△PFQ中，PF2+FQ2=PQ2，即可得出PF2+FQ2=EP2+GQ2．
（1）解：线段AD与OM之间的数量关系是AD=2OM，位置关系是AD⊥OM；理由如下：
设AD与OM交于点N，如图1所示：
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴AD=BC，∠OAD=∠OBC，
∵点M为线段BC的中点，∠BOC=90°，
∴OM=BC=BM，
∴OM=AD，∠OBC=∠MOB，
∴AD=2OM，∠OAD=∠MOB，
∵∠OAD+∠ODA=90°，
∴∠MOB+∠ODA=90°，
∴∠OND=90°，
∴AD⊥OM；
（2）证明：过E作EH∥FG交DA延长线于H，如图2所示：
则∠AEH=∠G，
∵EG的中点与点A重合，
∴AE=AG，
在△EAH和△GAQ中，
，
∴△EAH≌△GAQ（ASA），
∴EH=QG，AH=AQ，
∵∠G+∠GEF=90°，
∴∠AEH+∠GEF=90°，
即∠HEF=∠HEP=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴AP⊥AQ，
∴PQ=PH．
在Rt△EPH中，EP2+EH2=PH2，
∴EP2+GQ2=PQ2．
（3）解：PF2+FQ2=EP2+GQ2．理由如下：
过E作EH∥FG交DA延长线于点H，连PH、PQ，如图3所示：
同（2）得△EAH≌△GAQ（ASA），
∴EH=QG，AH=AQ，
∵∠G+∠GEF=90°，
∴∠AEH+∠GEF=90°，
即∠HEF=∠HEP=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴AP⊥AQ，
∴PQ=PH，
在Rt△EPH中，EP2+EH2=PH2，
∴EP2+GQ2=PH2．
在Rt△PFQ中，PF2+FQ2=PQ2，
∴PF2+FQ2=EP2+GQ2．
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