题目内容

如图，四边形ABCO是矩形，点A（3，0），B（3，4），动点M、N分别从点O、B出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP∥OC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了x秒，△MPA的面积为S．
（1）求点P的坐标．（用含x的代数式表示）
（2）写出S关于x的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）当△APM与△ACO相似时，求出点P的坐标．
（4）△PMA能否成为等腰三角形？如能，直接写出所有点P的坐标；如不能，说明理由．
（1）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
过点A（3，0）、C（0，4），解得：
y=-
4
3
x+4，
N点坐标为（3-x，4），所以P点横坐标为：3-x，
代入直线解析式得纵坐标为
4
3
x，
所以P点坐标为：（3-x，
4
3
x）；

（2）AM边上的高为P点纵坐标，
所以有：h=
4
3
x，
M点坐标为（x，0），
AM=3-x，
所以有：S=
1
2
AM•h，
解得：S=-
2
3
x2+2x=-
2
3
(x-
3
2
)2+
3
2
，
解得S的最大值为
3
2
，

（3）由题目可知AO=3，AC=5，AM=3-x，AP=
5
3
x，
∵
AP
AM
=
AO
AC

∴
5
3
x
3-x
=
3
5
，解得：
x=
27
34
，即P点坐标为（
75
34
，
18
17
），
同理可得当
AM
AP
=
AO
AC
时，
P点坐标为（
3
2
，2）；
故有P点坐标为：P1（
75
34
，
18
17
）、P2（
3
2
，2）；

（4）△PMA能成为等腰三角形，
有三种情况：①AM=AP时，[3-（3-x）]2+(0-
4
3
x)2=（3-x）2，
解得：x1=
9
8
，x2=-
9
2
（舍去），
∴3-x=
15
8
，
4
3
x=
3
2
，
∴P的坐标是（
15
8
，
3
2
），
②AP=PM时，[3-（3-x）]2+(0-
4
3
x)2=[（3-x）-x]2+(
4
3
x-0)2，
解得：x1=1，x2=3（舍去），
∴3-x=2，
4
3
x=
4
3
，
∴P的坐标是（2，
2
3
），
③MP=MA时，[（3-x）-x]2+(
4
3
x-0)2=（3-x）2，
解得：x1=0（舍去），x2=
54
43
，
∴3-x=
75
43
，
4
3
x=
72
43
，
∴P的坐标是（
75
43
，
72
43
），
即P点的坐标分别为
P1（2，
4
3
）、P2（
15
8
，
3
2
）、P3（
75
43
，
72
43
）．
答：△PMA能成为等腰三角形，此时P点的坐标分别为
P1（2，
4
3
）、P2（
15
8
，
3
2
）、P3（
75
43
，
72
43
）．
练习册系列答案
相关题目
如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OMN的斜边ON在x轴上，顶点M的坐标为（3，3），MH为斜边上的高．抛物线C：y=-
1
4
x2+nx与直线y=
1
2
x及过N点垂直于x轴的直线交于点D．点P（m，0）是x轴上一动点，过点P作y轴的平行线，交射线OM于点E．设以M、E、H、N为顶点的四边形的面积为S．
（1）直接写出点D的坐标及n的值；
（2）判断抛物线C的顶点是否在直线OM上？并说明理由；
（3）当m≠3时，求S与m的函数关系式；
（4）如图2，设直线PE交射线OD于R，交抛物线C于点Q，以RQ为一边，在RQ的右侧作矩形RQFG，其中RG=
3
2
，直接写出矩形RQFG与等腰直角三角形OMN重叠部分为轴对称图形时m的取值范围．
如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2
3
，0），⊙P刚好与x轴相切于点A，⊙P交y的正半轴于点B，点C，且BC=4．
（1）求半径PA的长；
（2）求证：四边形CAPB为菱形；
（3）有一开口向下的抛物线过O，A两点，当它的顶点不在直线AB的上方时，求函数表达式的二次项系数a的取值范围．
如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，1）、B（3，1）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
已知抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n），其中m、n是方程x2-6x+5=0的两个实数根，且m＜n．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C、D点的坐标和△BCD的面积；
（3）P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，求P点的坐标．
已知二次函数y=
1
2
x2+bx+c的图象经过点A（-3，6），并且与x轴交于点B（-1，0）和点C，顶点为P．
（1）求这个二次函数解析式；
（2）设D为线段OC上的点，满足∠DPC=∠BAC，求点D的坐标．
抛物线y1=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1，且A、C两点的坐标分别为A（-1，0）、C（0，-3）．
（1）求抛物线y1=ax2+bx+c和直线BC：y2=mx+n的解析式；
（2）当y1•y2≥0时，直接写出x的取值范围．
如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m，如果水位上升2m，就将达到警戒线CD，这时水面的宽为8m．若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过多少小时会达到拱顶？
如图，在平面直角坐标系中，?ABCO的顶点O在原点，点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（0，2），点C在第一象限．
（1）直接写出点C的坐标；
（2）将?ABCO绕点O逆时针旋转，使OC落在y轴的正半轴上，如图②，得□DEFG（点D与点O重合）．FG与边AB、x轴分别交于点Q、点P．设此时旋转前后两个平行四边形重叠部分的面积为S0，求S0的值；
（3）若将（2）中得到的?DEFG沿x轴正方向平移，在移动的过程中，设动点D的坐标为（t，0），?DEFG与?ABCO重叠部分的面积为S．写出S与t（0＜t≤2）的函数关系式．（直接写出结果）

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