Question

已知抛物线y=-x²+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n），其中m、n是方程x²-6x+5=0的两个实数根，且m＜n．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C、D点的坐标和△BCD的面积；
（3）P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，求P点的坐标．

Answer 1

（1）解方程x²-6x+5=0，
得x₁=5，x₂=1，
由m＜n，知m=1，n=5，
∴A（1，0），B（0，5），（1分）
∴

-1+b+c=0 c=5

即

b=-4 c=5

；
所求抛物线的解析式为y=-x²-4x+5．（3分）

（2）由-x²-4x+5=0，
得x₁=-5，x₂=1，
故C的坐标为（-5，0），（4分）
由顶点坐标公式，得D（-2，9）；（5分）
过D作DE⊥x轴于E，易得E（-2，0），
∴S_△BCD=S_△CDE+S_梯形OBDE-S_△OBC=

1

2

×3×9+

5+9

2

×2-

1

2

×5×5=15．（7分）
（注：延长DB交x轴于F，由S_△BCD=S_△CFD-S_△CFB也可求得）

（3）设P（a，0），则H（a，-a²-4a+5）；
直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，须且只须BC等分线段PH，亦即PH的中点，
（a，

-a2-4a+5

2

）在直线BC上，（8分）
易得直线BC方程为：y=x+5；
∴

-a2-4a+5

2

=a+5．
解之得a₁=-1，a₂=-5（舍去），
故所求P点坐标为（-1，0）．（10分）