Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=BC，以BC为直径作⊙ O交AC于点E，过点E作AB的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G．

（1）求证：EG是⊙O的切线；

（2）若BG=OB，AC=6，求BF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由AB=BC，可得△ABC是等腰三角形，且BE⊥AC可得AE=CE，根据中位线定理可得OE∥AB，且AB⊥EG可得OE⊥EG，即可证EG是⊙O的切线
（2）易证得△OBE是等边三角形，根据三角函数求BE，CE的长，再根据三角形的中位线的性质即可求得BF的长．

（1）如图：连接OE，BE，

∵AB=BC，
∴∠C=∠A，
∵BC是直径，
∴∠CEB=90°，且AB=BC，
∴CE=AE，且CO=OB，
∴OE∥AB，
∵GE⊥AB，
∴EG⊥OE，且OE是半径，
∴EG是⊙O的切线；

(2)∵BG=OB，OE⊥EG，

∴BE=OG=OB=OE，

∴△OBE为等边三角形，

∴∠CBE=60°，

∵AC=6，

∴CЕ=3，BЕ==，

∴OE=，

∵ОB=BG，OE//AB，

∴BF=OE=．