题目内容
【题目】【问题情境】
已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
【数学模型】
设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数表达式为y=2（x+
）（x＞0）．
【探索研究】
小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=x+
的图象性质．
（1）结合问题情境，函数y=x+
的自变量x的取值范围是x＞0，下表是y与x的几组对应值．
x | … |
|
|
| 1 | 2 | 3 | m | … |
y | … | 4 | 3 | 2 | 2 | 2 | 3 | 4 | … |
①写出m的值；
②画出该函数图象，结合图象，得出当x= 时，y有最小值，y最小= ；
提示：在求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．试用配方法求函数y=x+
（x＞0）的最小值，解决问题（2）
【解决问题】
（2）直接写出“问题情境”中问题的结论．
【答案】（1）①m=4; ②见解析；（3）长为
时，它的周长最小，最小值是4
．
【解析】试题分析：（1）①观察表格，即可得结论；②根据完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，进行配方即可得到最小值；（2）根据完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，将y=2（x+
）进行配方得到y=2[(
)2+2
]，即可求出答案．
试题解析：
（1）①由题意m=4．
②函数y=x+
的图象如图：
观察图象可知，当x=1时，函数y=x+
（x＞0）的最小值是2．
故答案为1，2．
y=x+=
=
+2
∵x＞0，所以
≥0，
所以当x=1时，的最小值为0，
∴函数y=x+
（x＞0）的最小值是2．
（2）∵y=2[（
﹣
）2+2
]=2（
﹣
）2+4，
∴当span>=时，y的值最小，最小值为4
，
∴当x=时，y的值最小，最小值为4，
答：矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值是4．
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