Question

如图,已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O.下列结论：①∠DOC="90°" ,  ②OC=OE，  ③tan∠OCD =  ，④ 中，正确的有【   】

A.1个         B.2个      C.3个         D.4个

Answer 1

C。

∵正方形ABCD的边长为4，∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°。
∵AE=BF=1，∴BE=CF=4－1=3。
在△EBC和△FCD中，∵BC=CD，∠B=∠DCF，BE=CF，∴△EBC≌△FCD（SAS）。
∴∠CFD=∠BEC。∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°。
∴∠DOC=90°。故①正确。
如图，

若OC=OE，∵DF⊥EC，∴CD=DE。
∵CD=AD＜DE（矛盾），故②错误。
∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，∴∠OCD=∠DFC。
∴tan∠OCD=tan∠DFC=。故③正确。
∵△EBC≌△FCD，∴S_△EBC=S_△FCD。
∴S_△EBC－S_△FOC=S_△FCD－S－，即S_△ODC=S_{四边形BEOF}。故④正确。故选C。