题目内容

如图,折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知折痕AE=5cm,且tan∠EFC=.
(1)△AFB 与△FEC有什么关系? 试证明你的结论。
(2)求矩形ABCD的周长。
解:(1)△AFB∽△FEC. 
证明:由题意得:∠AFE=∠D=90° 又∠B=∠C=90° ∴∠BAF+∠AFB=90° , ∠EFC+∠AFB=90°
∴∠BAF=∠EFC       AFB∽△FEC
(2)设EC=3x,FC=4x,则有DE="EF=5x" ,∴AB="CD=3x+" 5x=8x
由△AFB∽△FEC得:    即: = ∴BF=6x  ∴BC="BF-CF=6x+" 4x= 10x
∴在Rt△ADE中,AD=BC=10x,AE=,则有
解得舍去)  ∴AB+BC+CD+DA=36x=36(cm)   答:矩形ABCD的周长为36cm.
(1)由四边形BCD是矩形,可得∠AFE=∠D=90°,又由同角的余角相等,可得∠BAF=∠EFC,即可证得:△AFB∽△FEC;
(2)由Rt△FEC中,tan∠EFC=,可得,则可设CE=3k,则CF=4k,由勾股定理得EF=DE=5k.继而求得BF与BC,则可求得k的值,由矩形ABCD的周长=2(AB+BC)求得结果.
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