题目内容

【题目】探究并解决问题:

探究

倍延三角形的一条中线,我们可以发现一些有用的结论.

已知,如图①所示,ADABC的中线,延长ADE,使AD=DE,连接BECE.

1)求证:ABCE.

2)请再写出两条不同类型的结论.

解决问题

如图所示②,分别以ABC的边ABAC为边,向三角形的外侧作两个等腰直角三角形,AB=AD,AC=AE,BAD = CAE=90°,点MBC的中点,连接DE,AM,试问线段AMDE之间存在什么关系?并说明理由.

【答案】探究(1)见解析;(2)见解析;解决问题:ED=2AM,AM⊥ED;证明见解析.

【解析】

探究(1)先证明四边形BEAC是平行四边形,即可完成;(2)根据(1)所得的平行四边形,写两条性质即可;解决问题:ED=2AMAMED.延长AMG,使MG=AM,连BG,则ABGC是平行四边形,再结合已知条件可以证明△DAE≌△ABG,根据全等三角形的性质可以得到DE=2AM,∠BAG=EDA,再延长MGDEH,因为∠B4G+DAH=90°,所以∠HDA+DAH=90°这样就证明了AMLED

解:探究(1)∵ADABC的中线,

∴BD=DC

又∵AD=DE

∴四边形ABEC是平行四边形

ABCE

2)∵四边形ABEC是平行四边形

BE=AC,BE∥AC,∠BAC=∠BEC等写两个即可.

解决问题:

ED=2AM,AM⊥ED

证明:延长AM到G,使MG=AM,连BG,则ABGC是平行四边形,再延长M4交DE于H.

∴AC=BG,∠ABG+∠BAC=180°

又∵∠DAE+∠BAC=180°,

∴∠ABG=∠DAE.

∴△DAE≌△ABG

∴DE=2AM,∠BAG=∠EDA.

延长MA交DE于H,

∵∠BAG+∠DAH=90°,

∴∠HDA+∠DAH=90°.

AM⊥ED.

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