如图.在平面直角坐标系中.Rt△AOB的顶点坐标分别为A.把Rt△AOB绕着点O顺时针旋转90°得到Rt△BOC..抛物线y=ax2+bx+c经过B.C两点.与x轴的另一个交点为点D.顶点为点P.对称轴为直线x=3.(1)求该抛物线的解析式,(2)连接BC.CP.PD.BD.求四边形PCBD的面积,(3)在抛物线上是否存在一点M.使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积13?如� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（-2，0），O（0，0），B（0，2），把Rt△AOB绕着点O顺时针旋转90°得到Rt△B

OC，（点A旋转到点B的位置），抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过B，C两点，与x轴的另一个交点为点D，顶点为点P，对称轴为直线x=3，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，CP，PD，BD，求四边形PCBD的面积；
（3）在抛物线上是否存在一点M，使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积

1

3

？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

（1）由题意得：B（0，2），C（2，0），对称轴x=3，
设抛物线的解析式为y=a（x-3）²+k，
∵抛物线经过B（0，2），C（2，0），
∴2=9a+k，0=a+k（2分）
解得：a=

1

4

，k=-

1

4

，
∴y=

1

4

（x-3）²-

1

4

，
∴抛物线的解析式为y=

1

4

x²-

3

2

x+2；

（2）设对称轴与x轴的交点为N，
由图可知：CD=2，
S_△BCD=

1

2

•CD•OB=

1

2

×2×2=2，
S_△pCD=

1

2

CD•PN=

1

2

CD•|P_y|=

1

2

×2×

1

4

=

1

4

，
∴S_{四边形PCBD}=S_△BCD+S_△pCD=2+

1

4

=

9

4

；

（3）假设存在一点M，使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积

1

3

．
即：S_△MCD=

1

3

S_{四边形PCBD}，

1

2

CD•|M_y|=

9

4

×

1

3

，
|M_y|=

3

4

，（6分）
又∵点M在抛物线上，
∴|

1

4

x²-

3

2

x+2|=

3

4

，
∴

1

4

x²-

3

2

x+2=±

3

4

，
∴x²-6x+8=±3，
∴x²-6x+5=0或x²-6x+11=0，
由x²-6x+5=0，
得x₁=5，x₂=1，
由x²-6x+11=0，
∵b²-4ac=36-44=-8＜0，
∴此方程无实根．
当x₁=5时，y₁=

3

4

；当x₂=1时，y₂=

3

4

．
∴存在一点M（5，

3

4

），或（1，

3

4

）使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积

1

3

．

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如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y=-

x2+bx+c的图象经过B、C两点．
（1）直接写出点B、点C坐标；
（2）求该二次函数的解析式；
（3）结合函数的图象探索，直接写出不等式-

x2+bx+c≥0的解集为______．

如图1，点A是直线y=kx（k＞0，且k为常数）上一动点，以A为顶点的抛物线y=（x-h）²+m交直线y=kx于另一点E，交y轴于点F，抛物线的对称轴交x轴于点B，交直线EF于点C．（点A，E，F两两不重合）
（1）请写出h与m之间的关系；（用含的k式子表示）
（2）当点A运动到使EF与x轴平行时（如图2），求线段AC与OF的比值；
（3）当点A运动到使点F的位置最低时（如图3），求线段AC与OF的比值．

如图，已知二次函数的图象与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点D（0，4）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的顶点C的坐标；
（3）求四边形ACBD的面积？

在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，以AB的垂直平分线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立如图所示的

平面直角坐标系．
（1）求点的坐标：A______，B______，C______，______，AD的中点E______；
（2）求以E为顶点，对称轴平行于y轴，并且经过点B，C的抛物线的解析式；
（3）求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标；
（4）△PEB的面积S_△PEB与△PBC的面积S_△PBC具有怎样的关系？证明你的结论．

如图，抛物线y=-

x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于

点C，对称轴为直线x=

，OA=2，OD平分∠BOC交抛物线于点D（点D在第一象限）．
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（2）在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BPD的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点M是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点N，使A、D、M、N四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的M点坐标；如果不存在，请说明理由．

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(c-a)的顶点在x轴上，且a是方程z²+z-20=0的一个根．
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