题目内容
如图,以△ABC的边AC为直径的半圆交AB于D,三边长a,b,c能使二次函数y=
(c+a)x2-bx+
(c-a)的顶点在x轴上,且a是方程z2+z-20=0的一个根.
(1)证明:∠ACB=90°;
(2)若设b=2x,弓形面积S弓形AED=S1,阴影部分面积为S2,求(S2-S1)与x的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,当b为何值时,(S2-S1)最大?

1 |
2 |
1 |
2 |
(1)证明:∠ACB=90°;
(2)若设b=2x,弓形面积S弓形AED=S1,阴影部分面积为S2,求(S2-S1)与x的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,当b为何值时,(S2-S1)最大?

(1)因为二次函数y=
(a+c)x2-bx+
(c-a)的顶点在x轴上,
∴△=0,
即b2-4×
(a+c)×
(c-a)=0,
∴c2=a2+b2,
得∠ACB=90°,
或者从抛物线顶点的纵坐标为零求得
y=
=0,
可得c2=a2+b2;
(2)∵z2+z-20=0.
∴z1=-5,z2=4,
∵a>0,得a=4,
设b=AC=2x,有S△ABC=
AC•BC=4x,S半圆=
πx2,
∴S2-S1=S△ABC-(S半圆-S1)-S1=S△ABC-S半圆=-
x2+4x,
(3)S2-S1=-
(x-
)2+
,
∴当x=
,
即b=
时,(S2-S1)有最大值
.
1 |
2 |
1 |
2 |
∴△=0,
即b2-4×
1 |
2 |
1 |
2 |
∴c2=a2+b2,
得∠ACB=90°,
或者从抛物线顶点的纵坐标为零求得
y=
4×
| ||||
4×
|
可得c2=a2+b2;
(2)∵z2+z-20=0.
∴z1=-5,z2=4,
∵a>0,得a=4,
设b=AC=2x,有S△ABC=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴S2-S1=S△ABC-(S半圆-S1)-S1=S△ABC-S半圆=-
π |
2 |
(3)S2-S1=-
π |
2 |
4 |
π |
8 |
π |
∴当x=
4 |
π |
即b=
8 |
π |
8 |
π |

练习册系列答案
相关题目