Question

如图1，点A是直线y=kx（k＞0，且k为常数）上一动点，以A为顶点的抛物线y=（x-h）²+m交直线y=kx于另一点E，交y轴于点F，抛物线的对称轴交x轴于点B，交直线EF于点C．（点A，E，F两两不重合）
（1）请写出h与m之间的关系；（用含的k式子表示）
（2）当点A运动到使EF与x轴平行时（如图2），求线段AC与OF的比值；
（3）当点A运动到使点F的位置最低时（如图3），求线段AC与OF的比值．

Answer 1

（1）∵抛物线顶点（h，m）在直线y=kx上，
∴m=kh；

（2）方法一：解方程组

y=(x-h)2+kh(1) y=kx(2)

，
将（2）代入（1）得到：（x-h）²+kh=kx，
整理得：（x-h）[（x-h）-k]=0，
解得：x₁=h，x₂=k+h，
代入到方程（2）y₁=hy₂=k²+hk，
所以点E坐标是（k+h，k²+hk），
当x=0时，y=（x-h）²+m=h²+kh，
∴点F坐标是（0，h²+kh），
当EF和x轴平行时，点E，F的纵坐标相等，
即k²+kh=h²+kh，
解得：h=k（h=-k舍去，否则E，F，O重合），
此时点E（2k，2k²），F（0，2k²），C（k，2k²），A（k，k²），
∴AC：OF=k²：2k²=1：2．（3分）
方法二：当x=0时，y=（x-h）²+m=h²+kh，即F（0，h²+kh），
当EF和x轴平行时，点E，F的纵坐标相等，
即点E的纵坐标为h²+kh，
当y=h²+kh时，代入y=（x-h）²+kh，
解得x=2h（0舍去，否则E，F，O重合），
即点E坐标为（2h，h²+kh），（1分）
将此点横纵坐标代入y=kx得到h=k（h=0舍去，否则点E，F，O重合），
此时点E（2k，2k²），F（0，2k²），C（k，2k²），A（k，k²），
∴AC：OF=k²：2k²=1：2．
方法三：∵EF与x轴平行，
根据抛物线对称性得到FC=EC，
∵AC∥FO，
∴∠ECA=∠EFO，∠FOE=∠CAE，
∴△OFE∽△ACE，
∴AC：OF=EC：EF=1：2．

（3）当点F的位置处于最低时，其纵坐标h²+kh最小，
∵h²+kh=[h²+kh+（

k

2

）²]-

k2

4

，
当h=-

k

2

，点F的位置最低，此时F（0，-

k2

4

），
解方程组

y=(x+ k 2 )2- k2 2 y=kx

得E（

k

2

，

k2

2

），A（-

k

2

，-

k2

2

）．
方法一：设直线EF的解析式为y=px+q，
将点E（

k

2

，

k2

2

），F（0，-

k2

4

）的横纵坐标分别代入得

k2 2 = k 2 p+q - k2 4 =q

，
解得：p=

3

2

k，q=-

1

4

k2，
∴直线EF的解析式为y=

3

2

kx-

1

4

k2，
当x=-

k

2

时，y=-k²，即点C的坐标为（-

k

2

，-k²），
∵点A（-

1

2

k，-

k2

2

），
∴AC=

k2

2

，而OF=

1

4

k2，
∴AC=2OF，即AC：OF=2．
方法二：∵E（

k

2

，

k2

2

），A（-

k

2

，-

k2

2

），
∴点A，E关于点O对称，
∴AO=OE，
∵AC∥FO，
∴∠ECA=∠EFO，∠FOE=∠CAE，
∴△OFE∽△ACE，
∴AC：OF=AE：OE=2：1．