题目内容
【题目】如图,四边形ABCD,∠B=∠C=90°,边BC上一点E,连结AE、DE得等边△ABC,若=,则=_____
【答案】
【解析】
延长CB至M,使∠AMB=60°,延长BC至N,使∠DNC=60°,由直角三角形的性质得出BM=AM,CN=DN,证明△ABM∽△DCN,得出,设AM=2a,则DN=3a,BM=AM=a,CN=DN=,证明△AME≌△END(AAS),得出AM=EN=2a,ME=ND=3a,求出BE=ME-BM=2a,CE==,即可得出答案.
解:延长CB至M,使∠AMB=60°,延长BC至N,使∠DNC=60°,如图所示:
∵∠ABC=∠DCB=90°,
∴∠ABM=∠DCN=90°,
∴∠BAM=∠CDN=30°,
∴BM=AM,CN=DN,△ABM∽△DCN,
∴,
设AM=2a,则DN=3a,BM=AM=a,CN=DN=,
∵△AED是等边三角形,
∴AE=DE,∠AED=60°,
∴∠AEM+∠NED=120°,
∵∠MAE+∠AEM=120°,
∴∠MAE=∠NED,
在△AME和△END中,
,
∴△AME≌△END(AAS),
∴AM=EN=2a,ME=ND=3a,
∴BE=ME-BM=2a,CE==,
∴;
故答案为:.
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