题目内容

如图,在平面直角坐标系中,已知点A、B、C的坐标分别为(-1,0),(5,0),(0,2).
(1)求过A、B、C三点的抛物线解析式;
(2)若点P从A点出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动,连接PC并延长到点E,使CE=PC,将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF,连接FB.若点P运动的时间为t秒,(0≤t≤6)设△PBF的面积为S;
①求S与t的函数关系式;
②当t是多少时,△PBF的面积最大,最大面积是多少?
(3)点P在移动的过程中,△PBF能否成为直角三角形?若能,直接写出点F的坐标;若不能,请说明理由.
(1)(法一)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),把A(-1,0),B(5,0),C(0,2)三点代入解析式得:
a-b+c=0
25a+5b+c=0
c=2

解得
a=-
2
5
b=
8
5
c=2

y=-
2
5
x2+
8
5
x+2
;(3分)
(法二)设抛物线的解析式为y=a(x-5)(x+1),
把(0,2)代入解析式得:2=-5a,
a=-
2
5

y=-
2
5
(x+1)(x-5)

y=-
2
5
x2+
8
5
x+2
;(3分)

(2)①过点F作FD⊥x轴于D,
当点P在原点左侧时,BP=6-t,OP=1-t;
在Rt△POC中,∠PCO+∠CPO=90°,
∵∠FPD+∠CPO=90°,
∴∠PCO=∠FPD;
∵∠POC=∠FDP,
∴△CPO△PFD,(5分)
FD
PO
=
PF
PC

∵PF=PE=2PC,
∴FD=2PO=2(1-t);(6分)
∴S△PBF=
1
2
BP×DF
=t2-7t+6(0≤t<1);(8分)
当点P在原点右侧时,OP=t-1,BP=6-t;
∵△CPO△PFD,(9分)
∴FD=2(t-1);
∴S△PBF=
1
2
BP×DF
=-t2+7t-6(1<t<6);(11分)
②当0≤t<1时,S=t2-7t+6;
此时t在t=3.5的左侧,S随t的增大而减小,则有:
当t=0时,Smax=0-7×0+6=6;
当1<t<6时,S=-t2+7t-6;
由于1<3.5<6,故当t=3.5时,Smax=-3.5×3.5+7×3.5+6=6.25;
综上所述,当t=3.5时,面积最大,且最大值为6.25.

(3)能;(12分)
①若F为直角顶点,过F作FD⊥x轴于D,由(2)可知BP=6-t,DP=2OC=4,
在Rt△OCP中,OP=t-1,
由勾股定理易求得CP2=t2-2t+5,那
么PF2=(2CP)2=4(t2-2t+5);
在Rt△PFB中,FD⊥PB,
由射影定理可求得PB=PF2÷PD=t2-2t+5,
而PB的另一个表达式为:PB=6-t,
联立两式可得t2-2t+5=6-t,即t=
1+
5
2

P点坐标为(
5
-1
2
,0),
则F点坐标为:(
5
+7
2
5
-1);

②B为直角顶点,那么此时的情况与(2)题类似,△PFB△CPO,且相似比为2,
那么BP=2OC=4,即OP=OB-BP=1,此时t=2,
P点坐标为(1,0).FD=2(t-1)=2,
则F点坐标为(5,2).(14分)
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