题目内容
已知:二次函数y=a(x-1)2+4的图象如图所示,抛物线交y轴于点C,交x轴于A、B两点,用A点坐标为(-1,0).
(1)求a的值及点B的坐标.
(2)连接AC、BC,E是线段OC上的动点(不与O、C两点重合),过E点作直线PE⊥y轴交线段AC于点P,交线段BC于点Q.求证:
=
.
(3)设E点的坐标为(0,n),在线段AB上是否存在一点R,使得以P、Q、R为顶点的三角形与△B
OC相似?若存在,求出n的值,并画出相应的示意图;若不存在,请说明理由.
(1)求a的值及点B的坐标.
(2)连接AC、BC,E是线段OC上的动点(不与O、C两点重合),过E点作直线PE⊥y轴交线段AC于点P,交线段BC于点Q.求证:
CE |
CO |
PQ |
AB |
(3)设E点的坐标为(0,n),在线段AB上是否存在一点R,使得以P、Q、R为顶点的三角形与△B

(1)把A点坐标为(-1,0)代入y=a(x-1)2+4,得a(-1-1)2+4=0,解得a=-1,
∴y=-(x-1)2+4,
令y=0,-(x-1)2+4=0,
解得x1=-1,x2=3,
∴B点坐标为(3,0);
(2)证明:∵直线PE⊥y轴交线段AC于点P,交线段BC于点Q,
∴PQ∥AB,
∴△CPQ∽△CAB,
∴
=
;
(3)在线段AB上存在一点R,使得以P、Q、R为顶点的三角形与△BOC相似.理由如下
对于y=-(x-1)2+4,令x=0,y=3,
∴C点坐标为(0,3),
∴△OBC为等腰直角三角形,
设直线BC的解析式为:y=kx+b,
把B(3,0),C(0,3)代入得,
,
解得k=-1,b=3,
∴直线BC的解析式为:y=-x+3;
同理可得直线AC的解析式为:y=-3x+3;
∵E点的坐标为(0,n),0<n<3,
∴P点坐标为(
-1,n),Q点的坐标为(3-n,n),
∴QP=3-n-(
-1)=4-
;
若以P、Q、R为顶点的三角形与△BOC相似,
∴以P、Q、R为顶点的三角形为等腰直角三角形,
当∠PQR=90°,QR=QP,如图,
∵PQ∥AB,
∴QR⊥AB,
∴QR=OE=n,
∴n=4-
,
解得n=
,
∴R的坐标为(
,0),
当∠QPR=90°,PQ=PR,同理可得n=
,得P点坐标为(-
,
),则R点坐标为(-
,0);
当∠PRQ=90°,RP=RQ,过R作RH⊥PQ于H,如图,
∴HR=
PQ,
∴n=
(4-
),
解得n=
,
∴P点的坐标为(-
,
),Q点的坐标为(
,
),
∴R点的坐标为(
,0).
所以当n=
,R的坐标为(
,0)或(-
,0);当n=
,R点的坐标为(
,0).
∴y=-(x-1)2+4,
令y=0,-(x-1)2+4=0,
解得x1=-1,x2=3,
∴B点坐标为(3,0);
(2)证明:∵直线PE⊥y轴交线段AC于点P,交线段BC于点Q,
∴PQ∥AB,
∴△CPQ∽△CAB,
∴
CE |
CO |
PQ |
AB |
(3)在线段AB上存在一点R,使得以P、Q、R为顶点的三角形与△BOC相似.理由如下
对于y=-(x-1)2+4,令x=0,y=3,
∴C点坐标为(0,3),
∴△OBC为等腰直角三角形,

设直线BC的解析式为:y=kx+b,
把B(3,0),C(0,3)代入得,
|
解得k=-1,b=3,
∴直线BC的解析式为:y=-x+3;
同理可得直线AC的解析式为:y=-3x+3;
∵E点的坐标为(0,n),0<n<3,
∴P点坐标为(
n |
3 |
∴QP=3-n-(
n |
3 |
4n |
3 |
若以P、Q、R为顶点的三角形与△BOC相似,
∴以P、Q、R为顶点的三角形为等腰直角三角形,
当∠PQR=90°,QR=QP,如图,
∵PQ∥AB,
∴QR⊥AB,
∴QR=OE=n,
∴n=4-
4n |
3 |
解得n=
12 |
7 |
∴R的坐标为(
9 |
7 |
当∠QPR=90°,PQ=PR,同理可得n=
12 |
7 |
3 |
7 |
12 |
7 |
3 |
7 |
当∠PRQ=90°,RP=RQ,过R作RH⊥PQ于H,如图,
∴HR=
1 |
2 |
∴n=
1 |
2 |
4n |
3 |
解得n=
6 |
5 |
∴P点的坐标为(-
3 |
5 |
6 |
5 |
9 |
5 |
6 |
5 |
∴R点的坐标为(
3 |
5 |
所以当n=
12 |
7 |
9 |
7 |
3 |
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