Question

【题目】设抛物线与x轴交于两个不同的点A(-1，0)、B(m，0)，与y轴交于点C.且∠ACB=90°．

(1)求m的值和抛物线的解析式；

(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A的直线交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）m=4，y=x2-x-2；（2） (，0)或 (-，0)

【解析】

（1）根据抛物线的解析式可知OC=2，由于∠ACB=90°，可根据△AOC∽△COB求出OB的长，即可得出B点的坐标，也就得出了m的值．然后根据A，B，C三点的坐标，用待定系数法可求出抛物线的解析式；

（2）先求出点D的坐标，然后分情况进行讨论，如果过E作x轴的垂线，不难得出∠DBx=135°，而∠ABE是个钝角但小于135°，因此P点只能在B点左侧．可分两种情况进行讨论：①∠DPB=∠ABE，即△DBP∽△EAB，可得出BP：AP=BD：AE，可据此来求出P点的坐标．②∠PDB=∠ABE，即△DBP∽△BAE，方法同①，只不过对应的成比例线段不一样．综上所述可求出符合条件的P点的值．

解：（1）令x=0，得y=-2，

∴C(0，-2)，

∵∠ACB=90°，CO⊥AB，

∴△AOC∽△COB，

∴OAOB=OC2，

∴OB== =4，

∴m=4，

∴B(4，0)，

将A(-1，0)，B(4，0)代入y=ax2+bx-2得，

解得，

∴抛物线的解析式为y=x2-x-2；

（2）当x=1时，y=-- 2=-3，

∴D(1，-3 )．

解得，或，

∴E（6，7），

过E作EH⊥x轴于H，则H(6，0)，

∴AH=EH=7，

∴∠EAH=45°，

过D作DF⊥x轴于F，则F(1，0)，

∴BF=DF=3，

∴∠DBF=45°，

∴∠EAH=∠DBF=45°，

∴∠DBH=135°，90°＜∠EBA＜135°，

则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况：

①若△DBP1∽△EAB，则，

∵AB=5，BD=，AE=，

∴BP1===，

∴OP1=4-=，

∴P1(，0)；

②若△DBP2∽△BAE，则，

∵AB=5，BD=，AE=，

∴BP2==，

∴OP2=-4=，

∴P2(-，0)．

综合①、②，得点P的坐标为： (，0)或 (-，0)．