题目内容
【题目】如图，在梯形ABCD中，∠ABC=∠BAC=90°，在AD上取一点E，将△ABE沿直线BE折叠，使点A落在BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F．
（1）试探究AE、ED、DG之间有何数量关系？说明理由；
（2）判断△ABG与△BFE是否相似，并对结论给予证明；
（3）设AD=a，AB=b，BC=c．
①当四边形EFCD为平行四边形时，求a、b、c应满足的关系；
②在①的条件下，当b=2时，a的值是唯一的，求∠C的度数．
【答案】（1）AE2+DG2=ED2，理由见解析；（2）△ABG∽△BFE，理由见解析；（3）①a2+b2=ac；②∠C=45°．
【解析】试题分析：（1）由折叠得到∠EGB=∠EAB=90°，再利用勾股定理即可；
（2）先判断△EAB≌△EGB，然后∠ABG=∠EFB和∠BAG=∠FBE，即得等到结论；
（3）由（2）中的结论△ABG∽△BFE得出结论，再判定出△ABD∽△HCD得出比例式，就找到结论，再由根与系数的关系，判断计算即可．
试题解析：（1）AE2+DG2=ED2；
理由：据折叠性质得：△EAB≌△EGB，AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，
∴在Rt△EGD中，由勾股定理得：EG2+DG2=ED2，
∴AE2+DG2=ED2；
（2）△ABG∽△BFE．
理由：∵∠ABC=∠BAC=90°，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠EBF，
∵△EAB≌△EGB，∠AEB=∠BEG，∴∠EBF=∠BEF，∴FE=FB，即△FEB为等腰三角形，
∵∠ABG+∠GBF=90°，∠GBF+∠EFB=90°，∴∠ABG=∠EFB，
在等腰△ABG和△FEB中，∠BAG=（180°-∠ABG）÷2，∠FBE=（180°-∠EFB）÷2，
∴∠BAG=∠FBE，
∴△ABG∽△BFE；
（3）①∵△ABG∽△BFE，∴∠EFB=∠GBA，∴∠C=∠ABG，
∵∠DAB=∠DHC=90°，∴△ABD∽△HCD，∴
，
∴
，∴a2+b2=ac；
②当b=2时，设关于a的一元二次方程a2﹣ac+22=0的两根为a1，a2，
得：a1a2=c＞0，a1+a2=4＞0，∴a1＞0，a2＞0，
由题意a1=a2，∴△=0，即c2﹣16=0，
∵c＞0，∴c=4，∴a=2，∴H为BC中点，且ABHD为正方形，∴DH=HC，
∴∠C=45°．
