题目内容

【题目】如图,P是抛物线y=2(x2)2对称轴上的一个动点,直线x=t平行y轴,分别与y=x、抛物线交于点A、B.若ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形,求满足条件的t的值,则t=

【答案】或1或3

【解析】

试题分析:依题意,y=2x28x+8,设A(t,t),B(t,2t28t+8),则AB=|t(2t28t+8)|=|2t29t+8|,当ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形时,则PAB=90°,PA=AB=|t2|;当ABP是以点B为直角顶点的等腰直角三角形时,则PBA=90°,PB=AB=|t2|;分别列方程求k的值.

试题解析:y=2(x2)2 y=2x28x+8,

直线x=t分别与直线y=x、抛物线y=2x28x+8交于点A、B两点,

设A(t,t),B(t,2t28t+8),AB=|t(2t28t+8)|=|2t29t+8|,

ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形时,PAB=90°,此时PA=AB=|t2|,

即|2t29t+8|=|t2|, 2t29t+8=t2,或2t29t+8=2t, 解得t=1或3;

ABP是以点B为直角顶点的等腰直角三角形时,则PBA=90°,此时PB=AB=|t2|,结果同上.

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