题目内容
【题目】如图,P是抛物线y=2(x﹣2)2对称轴上的一个动点,直线x=t平行y轴,分别与y=x、抛物线交于点A、B.若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形,求满足条件的t的值,则t= .
【答案】或1或3
【解析】
试题分析:依题意,y=2x2﹣8x+8,设A(t,t),B(t,2t2﹣8t+8),则AB=|t﹣(2t2﹣8t+8)|=|2t2﹣9t+8|,当△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形时,则∠PAB=90°,PA=AB=|t﹣2|;当△ABP是以点B为直角顶点的等腰直角三角形时,则∠PBA=90°,PB=AB=|t﹣2|;分别列方程求k的值.
试题解析:∵y=2(x﹣2)2 ∴y=2x2﹣8x+8,
∵直线x=t分别与直线y=x、抛物线y=2x2﹣8x+8交于点A、B两点,
∴设A(t,t),B(t,2t2﹣8t+8),AB=|t﹣(2t2﹣8t+8)|=|2t2﹣9t+8|,
①当△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形时,∠PAB=90°,此时PA=AB=|t﹣2|,
即|2t2﹣9t+8|=|t﹣2|, ∴2t2﹣9t+8=t﹣2,或2t2﹣9t+8=2﹣t, 解得t=或1或3;
②当△ABP是以点B为直角顶点的等腰直角三角形时,则∠PBA=90°,此时PB=AB=|t﹣2|,结果同上.
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