Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．直线y=kx+b与抛物线y=mx2﹣ x+n同时经过A（0，3）、B（4，0）．

（1）求m，n的值．
（2）点M是二次函数图象上一点，（点M在AB下方），过M作MN⊥x轴，与AB交于点N，与x轴交于点Q．求MN的最大值．
（3）在（2）的条件下，是否存在点N，使△AOB和△NOQ相似？若存在，求出N点坐标，不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=mx2﹣ x+n经过A（0，3）、B（4，0），

∴ ，

解得 ．

∴二次函数的表达式为y=x2﹣ x+3．

（2）

解：∵直线y=kx+b经过A（0，3）、B（4，0），则 ，

解得 ．

∴经过AB两点的一次函数的解析式为y=﹣ x+3．

MN=﹣ x+3﹣（x2﹣ x+3）=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，

∵0≤x≤4，

∴当x=2时，MN取得最大值为4．

（3）

解：存在．

①当ON⊥AB时，（如图1）

可证：∠NOQ=∠OAB，∠OQN=∠AOB=90°，

∴△AOB∽△OQN．

∴ = = ，

∴OA=3，OB=4，

∴AB=5，

∵ONAB=OAOB，

∴ON= ，

∴NQ= ，OQ= ．

∴N（ ， ）；

②当N为AB中点时，（如图2）

∠NOQ=∠B，∠AOB=∠NQO=90°，

∴△AOB∽∽△NQO．此时N（2， ）．

∴满足条件的N（ ， ）或N（2， ）．

【解析】（1）根据抛物线y=mx2﹣ x+n经过A（0，3）、B（4，0），将两点坐标代入抛物线即可得出m，n的值；（2）根据待定系数法可求经过AB两点的一次函数的解析式，得到MN=﹣ x+3﹣（x2﹣ x+3）=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，从而求解；（3）分两种情况讨论，①当ON⊥AB 时，②当N为AB中点时，依次求出点N的坐标即可．