Question

【题目】已知关于x的一元二次方程x2+2x+ =0有实数根，k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=x2+2x+ 的图象向下平移9个单位，求平移后的图象的表达式；
（3）在（2）的条件下，平移后的二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），直线y=kx+b（k＞0）过点B，且与抛物线的另一个交点为C，直线BC上方的抛物线与线段BC组成新的图象，当此新图象的最小值大于﹣5时，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+ =0有实数根，

∴△=b2﹣4ac=4﹣4× ≥0，

∴k﹣1≤2，

∴k≤3，

∵k为正整数，

∴k的值是1，2，3；

（2）

解：∵方程有两个非零的整数根，

当k=1时，x2+2x=0，不合题意，舍去，

当k=2时，x2+2x+ =0，

方程的根不是整数，不合题意，舍去，

当k=3时，x2+2x+1=0，

解得：x1=x2=﹣1，符合题意，

∴k=3，

∴y=x2+2x+1，

∴平移后的图象的表达式y=x2+2x+1﹣9=x2+2x﹣8；

（3）

解：令y=0，x2+2x﹣8=0，

∴x1=﹣4，x2=2，

∵与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），

∴A（﹣4，0），B（2，0），

∵直线l：y=kx+b（k＞0）经过点B，

∴函数新图象如图所示，当点C在抛物线对称轴左侧时，新函数的最小值有可能大于﹣5，

令y=﹣5，即x2+2x﹣8=﹣5，

解得：x1=﹣3，x2=1，（不合题意，舍去），

∴抛物线经过点（﹣3，﹣5），

当直线y=kx+b（k＞0）经过点（﹣3，﹣5），（2，0）时，

可求得k=1，

由图象可知，当0＜k＜1时新函数的最小值大于﹣5．

【解析】（1）根据方程有实数根可得△≥0，求出k的取值范围，然后根据k为正整数得出k的值；（2）根据方程有两个非零的整数根进行判断，得出k=3，然后得出函数解析式，最后根据平移的性质求出平移后的图象的表达式；（3）令y=0，得出A、B的坐标，作出图象，然后根据新函数的最小值大于﹣5，求出C的坐标，然后根据B、C的坐标求出此时k的值，即可得出k的取值范围．