题目内容

如图,在Rt△ABC中,AB=CB,BO⊥AC,把△ABC折叠,使AB落在AC上,点B与AC上的点E重合,展开后,折痕AD交BO于点F,连接DE、EF.下列结论:①图中有4对全等三角形;②若将△DEF沿EF折叠,则点D不一定落在AC上;③BD=BF;④S四边形DFOE=S△AOF,上述结论中正确的个数是(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个
C

试题分析:
解:①由折叠可得BD=DE,而DC>DE,∴DC>BD,∴tan∠ADB≠2,故①错误;
②图中的全等三角形有△ABF≌△AEF,△ABD≌△AED,△FBD≌△FED,(由折叠可知)
∵OB⊥AC,
∴∠AOB=∠COB=90°,
在Rt△AOB和Rt△COB中,
∵ AB=BC BO=BO  ,
∴Rt△AOB≌Rt△COB(HL),
则全等三角形共有4对,故②正确;
③∵AB=CB,BO⊥AC,把△ABC折叠,
∴∠ABO=∠CBO=45°,∠FBD=∠DEF,
∴∠AEF=∠DEF=45°,∴将△DEF沿EF折叠,可得点D一定在AC上,故③错误;
④∵OB⊥AC,且AB=CB,
∴BO为∠ABC的平分线,即∠ABO=∠OBC=45°,
由折叠可知,AD是∠BAC的平分线,即∠BAF=22.5°,
又∵∠BFD为三角形ABF的外角,
∴∠BFD=∠ABO+∠BAF=67.5°,
易得∠BDF=180°-45°-67.5°=67.5°,
∴∠BFD=∠BDF,
∴BD=BF,故④正确;
⑤连接CF,
∵△AOF和△COF等底同高,
∴S△AOF=S△COF,
∵∠AEF=∠ACD=45°,
∴EF∥CD,
∴S△EFD=S△EFC,
∴S四边形DFOE=S△COF,
∴S四边形DFOE=S△AOF,
故⑤正确.
故答案为:C
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