Question

问题1：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠D，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，CD上，若∠MBN=∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；
问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M，N分别在DA，CD的延长线上，若∠MBN=∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.

解：（1）猜想：____________________
（2）猜想：____________________
证明：

Answer 1

（1）；（2）．

试题分析：（1）如图1，先判定梯形是等腰梯形，根据等腰梯形的性质可得，再把绕点顺时针旋转使点与点重合，点到达点，根据旋转变换的性质，和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，根据全等三角形对应角相等可得，，然后证明、、三点共线，再利用“边角边”证明和全等，然后根据全等三角形对应边相等即可得证．

（2）如图2，在内部作交于点，然后证明，再利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再证明，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得到．

试题解析：解：猜想的结论：（1）；（2）猜想的结论：．
理由如下：如图，作交于点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．