Question

如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC外角的平分线，已知∠BAC=∠ACD．

（1）求证：△ABC≌△CDA；
（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．

Answer 1

证明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠ACB。
∵∠FAC=∠B+∠ACB=2∠ACB，AD平分∠FAC，∴∠FAC=2∠CAD。∴∠CAD=∠ACB。
∵在△ABC和△CDA中，∠BAC=∠ACD，AC=CA，∠ACB =∠CAD，
∴△ABC≌△CDA（ASA）。
（2）∵∠FAC=2∠ACB，∠FAC=2∠DAC，∴∠DAC=∠ACB。∴AD∥BC。
∵∠BAC=∠ACD，∴AB∥CD。
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵∠B=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形。∴AB=BC。
∴平行四边形ABCD是菱形。

试题分析：（1）求出∠B=∠ACB，根据三角形外角性质求出∠FAC=2∠ACB=2∠DAC，推出∠DAC=∠ACB，根据ASA证明△ABC和△CDA全等。
（2）推出AD∥BC，AB∥CD，得出平行四边形ABCD，根据∠B=60°，AB=AC，得出等边△ABC，推出AB=BC即可。