Question

【题目】（知识回顾）

我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

（定理证明）

将下列的定理证明补充完整：

已知：如图①，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC中点，连结DE．

求证：

证明：

（定理应用）

如图②，在△ABC中，AB＝10，∠ABC＝60°，点P、Q分别是边AC、BC的中点，连结PQ．

（1）线段PQ的长为　 　．

（2）以点C为一个端点作线段CD（CD与AB不平行），连结AD，取AD的中点M，连结PM、QM．

①在图②中补全图形．

②当∠PQM＝∠PMQ时，求CD的长．

③在②的条件下，当△PQM面积最大时，直接写出∠BCD的度数．

Answer 1

【答案】【定理证明】见解析；【定理应用】（1）5；（2）①补全图形②如图所示，见解析；②CD＝10；③当△PQM面积最大时，∠BCD的度数为30°或150°．

【解析】

定理证明:根据题意写出求证，根据相似三角形的判定定理和性质定理证明结论；

定理应用:（1）根据三角形中位线定理解答；

（2）①根据题意补全图形；

②根据三角形中位线定理得到CD＝AB；

③分图③和图④两种情况解答．

已知：如图①，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC中点，连结DE．

求证：DE∥BC，DE＝BC

证明：∵D、E分别是AB、DC中点，

∴＝＝，又∠A＝∠A，

∴△ADE∽△ABC，

∴∠ADE＝∠B，＝＝，

∴DE∥BC，DE＝BC；

定理应用:

（1）∵点P、Q分别是边AC、BC的中点，

∴PQ＝AB＝5，

故答案为：5；

（2）①补全图形②如图所示：

②∵∠PQM＝∠PMQ，

∴PM＝PQ，

∵点P、Q、M分别是AC、BC、AD中点，

∴AB＝2PQ，CD＝2MP，

∴CD＝AB＝10；

③由三角形的面积公式可知，当PM⊥PQ时，△PQM面积最大，

如图③，∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，

如图④，∠BCD＝1800°﹣30°＝150°，

综上所述，当△PQM面积最大时，∠BCD的度数为30°或150°．