题目内容

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0），二次函数y=x2的图象记为抛物线l1．

（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过A、B两点，记为抛物线l2，求抛物线l2的函数表达式；
（2）设抛物线l2的顶点为C，请你判断y轴上是否存在点K，使得∠BKC=90°，若存在，求出K点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）抛物线l2与y轴交于点D，点P是线段BD上的一个动点，过点P，作y轴的平行线，交抛物线l2于点E，求线段PE长度的最大值．
（1）∵抛物线l2经过A（-1，0），B（3，0）
∴设抛物线l2的解析式为：y=a（x+1）（x-3）…（1分）
∵抛物线l2是由y=x2平移得到，
∴a=1
∴抛物线l2的函数表达式：y=x2-2x-3…（2分）

（2）存在点K…（3分）
∵抛物线l2的函数表达式：y=x2-2x-3，
∴y=（x-1）2-4，
∴抛物线l2的顶点坐标为（1，-4）
过点C作CG垂直于y轴，垂足为G

若∠OKB+∠GKC=90°
则∠BKC=90°，∠OBK=∠GKC
∴△OKB∽△GCK，
∴
OB
OK
=
GK
GC
，
∴
3
OK
=
4-OK
1
；
解之得：OK=1，或OK=3
∴点K坐标为（0，-1）或（0，-3）…（4分）

（3）抛物线l2与y轴交于点D，抛物线l2的函数表达式：y=x2-2x-3
∴点D坐标为（0，-3），
∴设直线BD的解析式为：y=kx+b
将B（3，0），D（0，-3）代入y=kx+b
得：
3k+b=0
b=-3

∴解之得：
k=1
b=-3
；
∴解析式为：y=x-3…（5分）
∵点P是线段BD上的一个动点，
∴点P坐标为（x，x-3）
∵PE平行于y轴，且点E在抛物线l2上，
∴点E坐标为（x，x2-2x-3）
线段PE的长度为|x2-2x-3|-|x-3|
则PE=-x2+3x=-(x-
3
2
)2+
9
4

∴线段PE长度的最大值
9
4
…（6分）
练习册系列答案
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如图，已知二次函数y=ax2-bx-c的图象与x轴交于A、B两点，当时x=1，二次函数取得最大值4，且|OA|=-
1
n
+2，
（1）求二次函数的解析式．
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如图，已知抛物线y=ax2+bx经过圆点O和x轴上的另一点A，它的对称轴x=2与x轴交于点C，直线y=-2x-1与抛物线y=a2+bx交于点B（-2，m），且y轴、直线x=2分别交于点D、E．
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（2）试判断△ECB的形状，并说明理由．
已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于两点A（1，0），B（3，0）与y轴相交于点C（0，3），
（l）求抛物线的函数关系式；
（2）若点D（4，m）是抛物线y=ax2+bx+c上一点，请求出m的值，并求出此时△ABD的面积；
（3）若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，且-1＜x1＜0，1＜x2＜2，试比较两函数值的大小：y1______y2；
（4）若自变量x的取值范围是0≤x≤5，则函数值y的取值范围是______．
音乐喷泉的某一个喷水口，喷出的一束水流形状是抛物线，在这束水流所在平面建立平面直角坐标系，以水面与此面的相交线为x轴，以喷水管所在的铅垂线为y轴，喷出的水流抛物线的解析式为：y=-x2+bx+2．但控制进水速度，可改变喷出的水流达到的最大高度，及落在水面的落点距喷水管的水平距离．
（1）喷出的水流抛物线与抛物线y=ax2的形状相同，则a=______；
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（3）求出（2）中的抛物线的顶点坐标和对称轴；
（4）对于水流抛物线y=-x2+bx+2．当b=b1时，落在水面的落点坐标为M（m，0），当b=b2时，落在水面的落点坐标为N（n，0），点M与点N都在x轴的正半轴，且点M在点N的右边，试比较b1与b2的大小．
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，且过点（-1，16），抛物线的顶点是点C，对称轴与x轴的交点为点D，原点为点O．在y轴的正半轴上有一动点N，使以A、O、N这三点为顶点的三角形与以C、A、D这三点为顶点的三角形相似．求：
（1）这条抛物线的解析式；
（2）点N的坐标．
某市举行钓鱼比赛，如图，选手甲钓到了一条大鱼，鱼竿被拉弯近似可看作以A为最高点的一条抛物线，鱼线AB长6m，鱼隐约在水面了，估计鱼离鱼竿支点有8m，此时鱼竿鱼线呈一个平面，且与水平面夹脚α恰好为60°，以鱼竿支点为原点，则鱼竿所在抛物线的解析式为______．
函数h=3.5t-4.9t2（t的单位：s，h的单位：m）可以描述小敏跳远时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间约是（　　）
A．0.36sB．0.63sC．0.70sD．0.71s
已知如图，抛物线t=ax2+bx+c与x轴相交于B（1，0）、C（4，0）两点，与y轴的正半轴相交于A点，过A、B、C三点的⊙P与y轴相切于点A，M为y轴负半轴上的一个动点，直线MB交抛物线于N，交⊙P于D．
（1）填空：A点坐标是______，⊙P半径的长是______，a=______，b=______，c=______；
（2）若S△BNC：S△AOB=15：2，求N点的坐标；
（3）若△AOB与以A、B、D为顶点的三角形相似，求MB•MD的值．

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