题目内容
把一边长为40cm的正方形硬纸板,进行适当的剪裁,折成一个长方形盒子(纸板的厚度忽略不计).
(1)如图,若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形,将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子.
①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2,那么剪掉的正方形的边长为多少?
②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值?如果有,求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长;如果没有,说明理由.
(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上),将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子,若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2,求此时长方形盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况).
![](http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140826/201408260001011834071.png)
(1)如图,若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形,将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子.
①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2,那么剪掉的正方形的边长为多少?
②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值?如果有,求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长;如果没有,说明理由.
(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上),将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子,若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2,求此时长方形盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况).
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(1)①设剪掉的正方形的边长为xcm.
则(40-2x)2=484,
即40-2x=±22,
解得x1=31(不合题意,舍去),x2=9,
∴剪掉的正方形的边长为9cm.
②侧面积有最大值.
设剪掉的小正方形的边长为acm,盒子的侧面积为ycm2,
则y与a的函数关系为:y=4(40-2a)a,
即y=-8a2+160a,
即y=-8(a-10)2+800,
∴a=10时,y最大=800.
即当剪掉的正方形的边长为10cm时,长方形盒子的侧面积最大为800cm2.
(2)在如图的一种剪裁图中,设剪掉的长方形盒子的高为xcm.![](http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140826/201408260001012773072.png)
2(40-2x)(20-x)+2x(20-x)+2x(40-2x)=550,
解得:x1=-35(不合题意,舍去),x2=15.
∴剪掉的长方形盒子的高为15cm.
40-2×15=10(cm),
20-15=5(cm),
此时长方体盒子的长为10cm,宽为5cm,高为15cm.
则(40-2x)2=484,
即40-2x=±22,
解得x1=31(不合题意,舍去),x2=9,
∴剪掉的正方形的边长为9cm.
②侧面积有最大值.
设剪掉的小正方形的边长为acm,盒子的侧面积为ycm2,
则y与a的函数关系为:y=4(40-2a)a,
即y=-8a2+160a,
即y=-8(a-10)2+800,
∴a=10时,y最大=800.
即当剪掉的正方形的边长为10cm时,长方形盒子的侧面积最大为800cm2.
(2)在如图的一种剪裁图中,设剪掉的长方形盒子的高为xcm.
![](http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140826/201408260001012773072.png)
2(40-2x)(20-x)+2x(20-x)+2x(40-2x)=550,
解得:x1=-35(不合题意,舍去),x2=15.
∴剪掉的长方形盒子的高为15cm.
40-2×15=10(cm),
20-15=5(cm),
此时长方体盒子的长为10cm,宽为5cm,高为15cm.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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