题目内容
已知在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=4．现以O为坐标原点，OA所在直线为
x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
（3）若⊙P的半径为R，圆心P在（2）的抛物线上运动，问：是否存在这样的点P，使得⊙P与两坐标轴都相切？若存在，请求出此时⊙P半径R的值；若不存在，请说明理由．
x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
（3）若⊙P的半径为R，圆心P在（2）的抛物线上运动，问：是否存在这样的点P，使得⊙P与两坐标轴都相切？若存在，请求出此时⊙P半径R的值；若不存在，请说明理由．
（1）过C作CH⊥OA于H，
∵将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处，
∴OC=OA=4，∠A0C=60°，
∴OH=2，CH=2
，
∴C的坐标是（2，2
），
答：C点坐标为（2，2
）．
（2）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx，
把A（4，0），C（2，2
）代入得：
，
∴
，
∴y=-
x2+2
x，
答：此抛物线的解析式为y=-
x2+2
x．
（3）存在．
设圆心P（x，y），则当⊙P与两坐标轴都相切时，有y=±x，
由y=x，得-
x2+2
x=x，
解得x1=0（舍去），x=4-
，
由y=-x，得-
x2+2
x=-x，
解得x1=0（舍去），x=4+
，
∴所求⊙P的半径R=4+
或R=4-
，
答：存在这样的点P，使得⊙P与两坐标轴都相切，此时⊙P半径R的值是4+
或4-
．
∵将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处，
∴OC=OA=4，∠A0C=60°，
∴OH=2，CH=2
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∴C的坐标是（2，2
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答：C点坐标为（2，2
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（2）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx，
把A（4，0），C（2，2
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∴
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∴y=-
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答：此抛物线的解析式为y=-
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（3）存在．
设圆心P（x，y），则当⊙P与两坐标轴都相切时，有y=±x，
由y=x，得-
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解得x1=0（舍去），x=4-
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由y=-x，得-
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解得x1=0（舍去），x=4+
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∴所求⊙P的半径R=4+
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答：存在这样的点P，使得⊙P与两坐标轴都相切，此时⊙P半径R的值是4+
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练习册系列答案
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距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，