Question

已知：m、n是方程x²-6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=-x²+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；
（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．

Answer 1

（1）解方程x²-6x+5=0，
得x₁=5，x₂=1
由m＜n，有m=1，n=5
所以点A、B的坐标分别为A（1，0），B（0，5）．
将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入y=-x²+bx+c．
得

-1+b+c=0 c=5

解这个方程组，得

b=-4 c=5

所以，抛物线的解析式为y=-x²-4x+5

（2）由y=-x²-4x+5，令y=0，得-x²-4x+5=0
解这个方程，得x₁=-5，x₂=1
所以C点的坐标为（-5，0）．由顶点坐标公式计算，得点D（-2，9）．
过D作x轴的垂线交x轴于M．
则S_△DMC=

1

2

×9×（5-2）=

27

2

S_梯形MDBO=

1

2

×2×（9+5）=14，
S_△BOC=

1

2

×5×5=

25

2

所以，S_△BCD=S_梯形MDBO+S_△DMC-S_△BOC=14+

27

2

-

25

2

=15．
答：点C、D的坐标和△BCD的面积分别是：（-5，0）、（-2，9）、15；
（3）设P点的坐标为（a，0）
因为线段BC过B、C两点，
所以BC所在的直线方程为y=x+5．
那么，PH与直线BC的交点坐标为E（a，a+5），
PH与抛物线y=-x²-4x+5的交点坐标为H（a，-a²-4a+5）．
由题意，得①EH=

3

2

EP，
即（-a²-4a+5）-（a+5）=

3

2

（a+5）
解这个方程，得a=-

3

2

或a=-5（舍去）
②EH=

2

3

EP，即（-a²-4a+5）-（a+5）=

2

3

（a+5）
解这个方程，得a=-

2

3

或a=-5（舍去），
P点的坐标为（-

3

2

，0）或（-

2

3

，0）．