题目内容
如图①,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于O、A两点直线y=-x+3与y轴交于B点,与该抛物线交于A,D两点,已知点D横坐标为-1.(1)求这条抛物线的解析式;
(2)如图①,在线段OA上有一动点H(不与O、A重合),过H作x轴的垂线分别交AB于P点,交抛物线于Q点,若x轴把△POQ分成两部分的面积之比为1:2,请求出H点的坐标;
(3)如图②,在抛物线上是否存在点C,使△ABC为直角三角形?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
(2)如图①,在线段OA上有一动点H(不与O、A重合),过H作x轴的垂线分别交AB于P点,交抛物线于Q点,若x轴把△POQ分成两部分的面积之比为1:2,请求出H点的坐标;
(3)如图②,在抛物线上是否存在点C,使△ABC为直角三角形?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)y=-x+3,
当x=0时,y=3,
∴B(0,3),
把x=-1代入y=-x+3得:y=4,
∴D(-1,4),
当y=0时,0=-x+3,
∴x=3,
∴A(3,0),
∵抛物线过A(3,0),O(0,0),
把D(-1,4)代入y=ax2+bx+c=a(x-0)(x-3)得:4=a(-1-0)(-1-3),
∴a=1,
∴y=(x-0)(x-3),
即抛物线的解析式是y=x2-3x.
(2)设H(x,0),
则P(x,-x+3),Q(x,x2-3x),
∴PH=-x+3,QH=3x-x2,
∵x轴把△POQ分成两部分的面积之比为1:2,
∴
=
或
=2,
即
=
或
=2,
解得:x1=2,x2=3(舍去),x3=3(舍去),x4=
,
∴H点的坐标是(2,0)或(
,0).
(3)分为三种情况:
①若∠BAC=90°,设C(x,x2-3x),
∵△AOB是等腰直角三角形,
∴∠BAO=45°,
∴∠OAC=45°,
∴tan∠OAC=1,
∴
=1,
解得:x1=1,x2=3(舍去),
∴C(1,-2);
②若∠ABC=90°时,
∵∠OBA=45°,
∴∠OBC=45°,
设直线BC交于x轴于E,其解析式是y=kx+3,
∴OE=OB=3,
∴E(-3,0),
代入得:0=-3k+3,
∴k=1,
∴y=x+3,
解方程组
得:
,
,
∴C(2+
,5-
)或(2-
,5-
);
③若∠ACB=90°时,设C(n,k),
AC2+BC2=AB2,
即(n-3)2+k2+n2+(k-3)2=18,
n2-3n+k2-3k=0,
∵k=n2-3n,
代入求出k1=0,k2=2,
∴n2-3n=0,n2-3n=2,
解得:n1=0,n2=3(舍去),n3=
,n4=
,
∴C(0,0)或(
,2)或(
,2),
综合上述:存在,点C的坐标是(1,-2)或(2+
,5+
)或(2-
,5-
)或(0,0)或(
,2)或(
,2).
当x=0时,y=3,
∴B(0,3),
把x=-1代入y=-x+3得:y=4,
∴D(-1,4),
当y=0时,0=-x+3,
∴x=3,
∴A(3,0),
∵抛物线过A(3,0),O(0,0),
把D(-1,4)代入y=ax2+bx+c=a(x-0)(x-3)得:4=a(-1-0)(-1-3),
∴a=1,
∴y=(x-0)(x-3),
即抛物线的解析式是y=x2-3x.
(2)设H(x,0),
则P(x,-x+3),Q(x,x2-3x),
∴PH=-x+3,QH=3x-x2,
∵x轴把△POQ分成两部分的面积之比为1:2,
∴
PH |
QH |
1 |
2 |
PH |
QH |
即
-x+3 |
3x-x2 |
1 |
2 |
-x+3 |
3x-x2 |
解得:x1=2,x2=3(舍去),x3=3(舍去),x4=
1 |
2 |
∴H点的坐标是(2,0)或(
1 |
2 |
(3)分为三种情况:
①若∠BAC=90°,设C(x,x2-3x),
∵△AOB是等腰直角三角形,
∴∠BAO=45°,
∴∠OAC=45°,
∴tan∠OAC=1,
∴
x2-3x |
3-x |
解得:x1=1,x2=3(舍去),
∴C(1,-2);
②若∠ABC=90°时,
∵∠OBA=45°,
∴∠OBC=45°,
设直线BC交于x轴于E,其解析式是y=kx+3,
∴OE=OB=3,
∴E(-3,0),
代入得:0=-3k+3,
∴k=1,
∴y=x+3,
解方程组
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∴C(2+
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7 |
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③若∠ACB=90°时,设C(n,k),
AC2+BC2=AB2,
即(n-3)2+k2+n2+(k-3)2=18,
n2-3n+k2-3k=0,
∵k=n2-3n,
代入求出k1=0,k2=2,
∴n2-3n=0,n2-3n=2,
解得:n1=0,n2=3(舍去),n3=
3+
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2 |
3-
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∴C(0,0)或(
3+
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3-
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综合上述:存在,点C的坐标是(1,-2)或(2+
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3+
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3-
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