Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-2mx+n与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（-2，0）．
（1）求B点坐标；
（2）直线y=

1

2

x+4m+n经过点B．
①求直线和抛物线的解析式；
②点P在抛物线上，过点P作y轴的垂线l，垂足为D（0，d）．将抛物线在直线l上方的部分沿直线l翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G．请结合图象回答：当图象G与直线y=

1

2

x+4m+n只有两个公共点时，d的取值范围是______．

Answer 1

（1）依题意，可得抛物线的对称轴为：x=-

-2m

2m

=1．
∵抛物线与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（-2，0），
∴点B的坐标为（4，0）；

（2）∵点B在直线y=

1

2

x+4m+n上，
∴0=2+4m+n①．
∵点A在二次函数y=mx²-2mx+n的图象上，
∴0=4m+4m+n②．
由①、②可得m=

1

2

，n=-4．
∴抛物线的解析式为y=

1

2

x2-x-4，直线的解析式为y=

1

2

x-2．

（3）翻折图象即是FDP直线下方的图象．要使得直线y=

1

2

x-2与新图象G仅有两个交点，须保证点P在直线下方，而点F在直线上方．
最低点G（1，-

9

2

）．点D为（0，d），把-

9

2

≤y=d＜0代入原抛物线方程y=

1

2

x²-x-4=d，
解得：x₁=1-

2d+9

，即点F的横坐标，
x₂=1+

2d+9

，即点P的横坐标
所以：d＞y₁=

1

2

x₁-2=

1

2

（1-

2d+9

）-2，即：

2d+9

＞-（2d+3）…（a）
d＜y₂=

1

2

x₂-2=

1

2

（1+

2d+9

）-2，即：

2d+9

＞2d+3…（b）
当2d+3≤0即-

9

2

≤d≤-

3

2

时，（b）成立，（a）两边平方整理得：
2d²+5d＜0，解得：-

5

2

＜d＜-

3

2

；
当2d+3≥0即-

3

2

≤d＜0时，（a）成立，（b）两边平方整理得：
2d²+5d＜0，解得：-

3

2

≤d＜0
综上所述：-

5

2

＜d＜0．