题目内容

【题目】下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律组成的,请根据排列规律完成下列问题:

1)填写下表:

图形序号

菱形个数(个)

3

7

________

________

……

……

2)根据表中规律猜想,图n中菱形的个数_______(用含n的式子表示);

3)是否存在一个图形恰好由111个菱形组成?若存在,求出图的序号;若不存在,说明理由.

【答案】1)③ 13,④ 21;(2)图n中菱形的个数3)存在,是图⑩.

【解析】

1)观察图形,数出图③、图④中菱形的个数;

2)设图n中菱形的个数为ann为正整数),观察图形,找出部分图形中菱形的个数,根据菱形个数的变化(分成上下两部分,根据两部分的变化)可找出变化规律“an=n2+n+1n为正整数)

3)由(2)的结论结合菱形的个数为111,即可得出关于n的一元二次方程,解之取其正值(正整数值)即可得出结论.

1)观察图形,可知:图③中有13个菱形,图④中有21个菱形.

故答案为:1321

2)设图n中菱形的个数为ann为正整数),

观察图形,可知:a1=3=1+2a2=7=4+3a3=13=9+4a4=21=16+5

an=n2+n+1n为正整数).

3)依题意,得:n2+n+1=111

解得:n1=-11(舍去),a2=10

∴存在一个图形恰好由111个菱形组成,该图形的序号为⑩.

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