Question

【题目】如图，已知已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D，直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．

（1）求m的值及该抛物线的解析式

（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标．

（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) 3 (2) P1（2+2，1）P2=（2﹣2，1），P3）2，1） (3) 存在

解：（1）∵点B（﹣2，m）在直线y=﹣2x﹣1上

∴m=﹣2×（﹣2）﹣1=4﹣1=3，

所以，点B（﹣2，3），

又∵抛物线经过原点O，

∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx，

∵点B（﹣2，3），A（4，0）在抛物线上，

，

解得 ．

∴抛物线的解析式为 ；

（2）∵P（x，y）是抛物线上的一点，

，

若S△ADP=S△ADC，

， ，

又∵点C是直线y=﹣2x﹣1与y轴交点，

∴C（0，﹣1），

∴OC=1，

∴| x2﹣x|=1，即x2﹣x=1，或x2﹣x=﹣1，

解得：x1=2+2 ，x2=2﹣2，x3=x4=2，

∴点P的坐标为 P1（2+2，1）P2=（2﹣2，1），P3）2，1）；

（3）结论：存在．

∵抛物线的解析式为y=x2﹣x，

∴顶点E（2，﹣1），对称轴为x=2；

点F是直线y=﹣2x﹣1与对称轴x=2的交点，∴F（2，﹣5），DF=5．

又∵A（4，0），

∴AE= ．

如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：

①菱形AEM1Q1．

∵此时EM1=AE=，

∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=4﹣，

∴t1=4﹣；

②菱形AEOM2．

∵此时DM2=DE=1，

∴M2F=DF+DM2=6，

∴t2=6；

③菱形AEM3Q3．

∵此时EM3=AE=，

∴DM3=EM3﹣DE=﹣1，

∴M3F=DM3+DF=（﹣1）+5=4+，

∴t3=4+；

④菱形AM4EQ4．

此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AE⊥M4Q4，

∵易知△AED∽△M4EH，

，即 ，得 ，

∴DM4=M4E﹣DE= ﹣1= ，

∴M4F=DM4+DF=+5= ，

∴t4=．

综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：t1=4﹣，t2=6，t3=4+，t4=．

【解析】试题分析：（1）将x=-2代入y=-2x-1即可求得点B的坐标，根据抛物线过点A、O、B即可求出抛物线的方程.

（2）根据题意，可知△ADP和△ADC的高相等，即点P纵坐标的绝对值为1，所以点P的纵坐标为 ，分别代入中求解，即可得到所有符合题意的点P的坐标。

（3）由抛物线的解析式为 ，得顶点E（2，﹣1），对称轴为x=2；

点F是直线y=﹣2x﹣1与对称轴x=2的交点，求出F（2，﹣5），DF=5．

又由A（4，0），根据勾股定理得 ．然后分4种情况求解.