题目内容

【题目】如图,直线与x轴,y轴分别交于点A,点B,两动点D,E分别从点A,点B同时出发向点O运动(运动到点O停止),运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒,设运动时间为t秒,以点A为顶点的抛物线经过点E,过点E作x轴的平行线,与抛物线的另一个交点为点G,与AB相交于点F.

(1)求点A,点B的坐标;

(2)用含t的代数式分别表示EF和AF的长;

(3)当四边形ADEF为菱形时,试判断△AFG与△AGB是否相似,并说明理由.

(4)是否存在t的值,使△AGF为直角三角形?若存在,求出这时抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)A(2,0),B(0,;(2)EF=t,AF=4﹣2t;(3)相似;(4)

【解析】(1)在直线中,令y=0可得,解得x=2,令x=0可得y=A为(2,0),B为(0,);

(2)由(1)可知OA=2,OB=tan∠ABO==∠ABO=30°,运动时间为t秒,BE=t,EF∥x轴,在Rt△BEF中,EF=BEtan∠ABO=BE=t,BF=2EF=2t,在Rt△ABO中,OA=2,OB=AB=4,AF=4﹣2t;

(3)相似.理由如下:

当四边形ADEF为菱形时,则有EF=AF,即t=4﹣2t,解得t=AF=4﹣2t=4﹣=,OE=OB﹣BE==,如图,过G作GH⊥x轴,交x轴于点H,则四边形OEGH为矩形,GH=OE=,又EG∥x轴,抛物线的顶点为A,OA=AH=2,在Rt△AGH中,由勾股定理可得==,又AFAB=×4=AFAB=AG2,即,且∠FAG=∠GAB,△AFG∽△AGB;

(4)存在,EG∥x轴,∠GFA=∠BAO=60°,又G点不能在抛物线的对称轴上,∠FGA≠90°,当△AGF为直角三角形时,则有∠FAG=90°,又∠FGA=30°,FG=2AF,EF=t,EG=4,FG=4﹣t,且AF=4﹣2t,4﹣t=2(4﹣2t),解得t=,即当t的值为秒时,△AGF为直角三角形,此时OE=OB﹣BE===E点坐标为(0,),抛物线的顶点为A,可设抛物线解析式为,把E点坐标代入可得=4a,解得a=抛物线解析式为

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